La única geometría conocida hasta mediados del Siglo XIX fue inventada por Euclides (330 a.C.) y ha sido llamada geometría euclidiana. El idealismo kantiano la consideraba a priori al entendimiento humano. Sin embargo, el mismo Euclides, en su obra Los elementos, estableció un V Postulado, cuyo enunciado dicta lo siguiente: Dado un punto p exterior a una recta L en un plano, existe una única recta L´ que pasa por p y que es paralela a la recta L.

El enunciado anterior ha sido materia de debate filosófico y matemático, muchos científicos consideraban que podría ser un teorema. Hubo varios intentos de demostrarlo, pero todos fracasaron. Hasta que, en el Siglo XIX, el matemático ruso Nikolái Lobachevski intentó una prueba basada en el método del absurdo: supuso que por un punto exterior p pasan infinitas rectas paralelas, y pensó que debería llegar a una contradicción. Esto nunca pasó, todo lo contrario, empezó a vislumbrar un mundo geométrico con características contradictorias, por ejemplo, logró probar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180 grados. Toda geometría en donde no se cumple el V Postulado de Euclides, es llamada geometría no euclidiana.

La incredulidad de los matemáticos de la época para aceptar este nuevo mundo geométrico fue enorme, hasta que se demostró que una contradicción en la geometría no euclidiana tendría como consecuencia una equivalente en la geometría euclidiana y viceversa. Sin embargo, el debate filosófico y matemático continuó, las ideas kantianas (hasta el día de hoy proliferan) arraigadas en la intuición humana se negaban a aceptar esta nueva realidad geométrica.

¿Cómo aceptar esta nueva geometría dentro del conocimiento matemático? La controversia terminó por dos hechos importantes: 

Esta nueva geometría resultó fundamental para comprender la geometría del universo, a grandes distancias, la geometría euclidiana pierde validez.

La consolidación del formalismo matemático de David Hilbert, que establece una nueva concepción en el hacer del matemático (cuarta revolución matemática).

Para Hilbert, lo esencial en el trabajo matemático no son los objetos matemáticos en sí, sino las relaciones que puedan definirse entre los objetos matemáticos. Para ello, instauró un nuevo concepto de axioma: para Hilbert (y para los matemáticos de hoy) los axiomas son reglas de juego iniciales –no necesariamente evidentes intuitivamente– que se establecen bajo la condición de que no se contradigan entre ellas. De esta manera, el nuevo postulado que contradice al V Postulado de Euclides puede ser aceptado como regla inicial de juego; por supuesto que este nuevo axioma no entra en contradicción con los primeros axiomas de Euclides.

Así nace formal y oficialmente la geometría no euclidiana en la matemática, y también otras geometrías no euclidianas, que resultaron transcendentales en el desarrollo científico.

Hoy existen diversas geometrías no relacionadas con el V Postulado de Euclides, por ejemplo, la llamada geometría finita, que se inventa con un número finito de puntos para el cual se definen sus rectas y relaciones para generar una geometría. Es hermoso: las interpretaciones conceptuales de estos objetos matemáticos se conectan con otros sistemas formales.

Para entender el microcosmos, es necesario inventar nuevas geometrías (puesto que la euclidiana no tiene validez), y nuevas herramientas matemáticas y/o reinterpretar lo que se tiene para comprobar las conjeturas que los científicos se plantean. Con el formalismo se ha abierto un universo de posibilidades para entender y comprender el mundo. Aunque al matemático no le interesan los usos de sus invenciones, este nuevo conocimiento ha resultado fundamental para el progreso de la humanidad; es por ello que los países desarrollados invierten en ciencia básica, aunque no tenga aplicación inmediata; si se piensa en el futuro de la humanidad, no hay mejor alternativa (porque es muy económica) que invertir en el desarrollo de ciencia básica.