Una de las características de la matemática del Siglo XX consiste en la conexión de áreas aparentemente distintas para resolver problemas de una de ellas con las técnicas de la otra área. La riqueza conceptual se eleva a otro nivel, además, se generan estructuras que permiten percibir la belleza intrínseca de las ideas matemáticas. Es fascinante sumergirse en nociones cada vez más abstractas, bajo propósitos específicos dentro de la matemática.

Uno de estos conceptos de conexión se establece entre la topología y el álgebra abstracta. Dos mundos aparentemente distintos, pero que pueden unirse mediante un sistema formal que identifique objetos de la topología con objetos algebraicos. Esta brillante idea se le ocurrió al francés Henry Poincaré.

El problema topológico para clasificar objetos geométricos como las superficies en nuestro espacio-ambiente resulta difícil, si logramos agruparlos por alguna característica intrínseca, por ejemplo: el número de hoyos del objeto, podríamos asociarlo a un determinado grupo algebraico. La técnica matemática que permite este proceso se llama Topología Algebraica.

En primer lugar, observemos que los objetos sin hoyo sólo se deforman en objetos sin hoyos, que los objetos con un solo hoyo se deforman en objetos de un solo hoyo, los objetos con dos hoyos se deforman en objetos con dos hoyos y así sucesivamente. Estas deformaciones deben hacerse sin romper los objetos para mantener la aproximación de sus puntos. El número de hoyos de un objeto matemático se llama número de Betty. Este número es denominado invariante topológica en el sentido que no cambia cuando el objeto se deforma.

A Poincaré se le ocurrió la idea de que, en una esfera (objeto sin hoyos), todas las curvas cerradas sobre tal esfera se podrían reducir continuamente a un punto X₀ y que, por lo tanto, asociarlo al grupo algebraico trivial G₁={X₀}. Después observó que, en una esfera con un hoyo (o esfera con una asa), existían dos tipos de curvas cerradas sobre este objeto: una de ellas se reduce a un solo punto, y el otro tipo de curva no se reduce a un punto (puesto que se enrolla en el asa), le asoció al grupo algebraico G₂ =ZxZ.

Estos dos grupos algebraicos G₁= {X₀} y G₂=ZxZ no son equivalentes, puesto que tienen propiedades diferentes (técnicamente se dice que no son isomorfos), e implica que la esfera y la esfera con un asa no pertenecen a la misma clase. Es decir, se clasificaron objetos sin hoyos con objetos con un solo hoyo. Existe un resultado fascinante que es posible generalizar con esferas con asas; para ello hay que aprobar un curso de Topología Algebraica, en donde se estudia esta técnica llamada Grupo Fundamental. No es la única forma de asociar objetos geométricos con objetos algebraicos; hay otro proceso llamado Homología. Incluso no sólo se puede hacer con grupos algebraicos, sino también con otras estructuras algebraicas como anillos y módulos. El dispositivo matemático que asocia objetos geométricos con objetos algebraicos se denomina “Funtor”.

La afirmación: Los objetos geométricos equivalentes (deformables uno en el otro) implica objetos algebraicos equivalentes, es uno de los teoremas más interesantes de la Topología Algebraica y que permite establecer algunas clasificaciones de los objetos geométricos.

La topología Algebraica es fascinante, aborda también otros problemas topológicos. Por ejemplo, se han descubierto aplicaciones en la física teórica y en la astrofísica. Desde el punto de vista intrínseco, la Topología Algebraica fue fundamental para desarrollar una parte de la Conjetura de Poincaré, uno de los problemas del milenio, resuelto el 2005 por el ruso Gregory Perelman. Esta conjetura pertenece a un proyecto más ambicioso de clasificación de variedades tridimensionales propuesto por el norteamericano William Thurston.

La Topología Algebraica con otras disciplinas, como la Topología Diferencial, establecen la Topología Geométrica, que abordaremos en otra entrega.