En la educación básica y media, tradicionalmente se estudia aritmética, álgebra elemental, geometría euclidiana y trigonometría. En general, la educación ha segmentado el conocimiento y la matemática no ha sido la excepción. Cada tema tiene una belleza intrínseca que se percibe con un persistente trabajo intelectual; sin embargo, la conexión y la asociación son constructos mentales que permiten percibir la belleza más ampliamente. Bajo este proceso se ha desarrollado el conocimiento humano hasta el día de hoy.

Percibir la belleza de ideas en cualquier conocimiento humano, muchas veces, se encuentra conectando distintas áreas para reinterpretarlo conceptualmente; la matemática no es la excepción.

La primera conexión ocurrida en matemática fue en el Siglo XVII (segunda revolución matemática). Esto ocurrió por el agotamiento de las técnicas sintéticas de la geometría, incapaces de resolver los tres problemas de la antigüedad (trisección de un ángulo con regla y compás, duplicación del cubo y cuadratura del círculo), además de un progreso práctico del algebra elemental. Sin embargo, hasta ese momento, la geometría euclidiana y el álgebra eran dos mundos distintos, sin conexión. La incursión del racionalismo como fuente filosófica para adquirir el conocimiento resultó fundamental para dar este gran paso y conectar estos dos mundos.

Y para resolver problemas de la geometría sintética con las herramientas del álgebra, fue necesaria la invención de un dispositivo matemático, que permitiera dar ese salto epistémico y que constituye una fuente de riqueza conceptual en el trabajo matemático hasta el día de hoy. Esta herramienta inicialmente inventada por René Descartes (en una dimensión) y luego consolidada (en dos y tres dimensiones) por Isaac Newton, es el sistema de coordenadas.

Un sistema de coordenadas es un constructo matemático que permite asociar biunívocamente un punto geométrico con un objeto numérico, o sea algebraico. Este dispositivo permite establecer la isovalencia entre objetos geométricos y objetos del álgebra elemental; y así transformar un problema geométrico en un problema algebraico. La riqueza conceptual es enorme: por primera vez en la historia, la geometría de Euclides puede ser vista como números pares ordenados, tripletas ordenadas y ecuaciones algebraicas. Objetos geométricos conocidos por los griegos como recta, plano, círculo, parábola, elipse, hipérbola, etc., fueron reinterpretados conceptualmente como ecuaciones algebraicas. Tal puente entre estos dos mundos matemáticos ha generado una serie de técnicas que los matemáticos han bautizado como geometría analítica.

La palabra analítico tiene profundas raíces históricas. En primer lugar, el progreso sustancial de esta idea de establecer un sistema de coordenadas resultó fundamental para que Isaac Newton pudiera instaurar una de las herramientas más importantes de la ciencia, el cálculo diferencial e integral, y desarrollar las leyes de la mecánica clásica. Todo este proceso de análisis fuertemente ligado a los problemas de la naturaleza –que incluía concepciones filosóficas– fue llamado analítico, para luego convertirse en un concepto ligado al estudio de los números reales a finales del Siglo XIX.

Una geometría sintética, asociada con técnicas algebraicas que a su vez se reducía a resolver problemas analíticos (cálculo diferencial e integral), fue consolidando una nueva área de conocimiento matemático llamado geometría analítica que hoy día es estudiado en ámbitos escolares y universitarios.

Sin esta brillante idea hubiera sido muy difícil realizar los progresos matemáticos y técnicos de que gozamos hoy día. Desde la perspectiva matemática, se inició una nueva forma de ver a los objetos matemáticos, fue como darle un soplo de vida al punto, la recta, el plano, los triángulos, etc., que estaban estáticos, sin vida, atrapados por la concepción platónica ante la imposibilidad de conocer la realidad tal como es: en movimiento. Sin embargo, la concepción aristotélica del mundo que permitió el desarrollo matemático y técnico también tuvo limitaciones que recién fueron superadas a finales del Siglo XIX, fue el preámbulo de la cuarta revolución matemática, el formalismo y el estructuralismo, en que nos encontramos sumergidos en la actualidad.