Pappus de Alejandría (290-350) es considerado uno de los últimos matemáticos de la antigua Grecia. Fue un geómetra excepcional, como lo muestran los ocho tomos de su emblemática obra titulada Colección Matemática, de la que sólo se conservan los seis últimos y parte del segundo; se cree que fue escrita en el año 340.

El Libro I trata sobre Aritmética (está desaparecido), del Libro II sólo se conserva el método de Apolonio para estudiar grandes cifras en la numeración griega; se llegaron a escribir hasta 10 mil; el Libro III renueva resultados de Euclides sobre la construcción geométrica de las tres medias: aritmética, geométrica y armónica; este libro también estudia una colección de paradojas geométricas; además, muestra cómo los poliedros regulares pueden inscribirse en una esfera. El Libro IV contiene propiedades de la espiral de Arquímedes y la cuadratriz de Hippias, e incluye métodos para trisecarla. El Libro V describe por qué las abejas construyen panales hexagonales. Los Libros VI y VII profundizan en obras de Apolonio y Euclides. En el Libro VII aparece el famoso “problema de Pappus”: Si los puntos A, B y C están en una recta, los puntos A’, B’ y C’ en otra y las rectas AB’, CB’ y AC’; entonces los puntos de intersección P, Q y R, están alineados. Este resultado es uno de los que dieron origen a la Geometría Proyectiva.

Otro resultado de la mayor relevancia es el que aparece en este libro, al que hoy día llamamos Teorema de Pappus, que anticipó las ideas infinitesimales de Newton, y que afirma: Dada una curva plana y cerrada que gira sobre un eje situado en el mismo plano, pero fuera de ella se tiene que el volumen del sólido engendrado es el producto del área encerrada en la curva por la longitud de la circunferencia de giro correspondiente al centro de gravedad de la superficie. Este resultado fue demostrado nuevamente en 1640 por el matemático jesuita Paul Guldin. El Libro VIII se ocupa de la Mecánica.

En el Libro V aparece un curioso estudio sobre las abejas. Observó que almacenaban la miel en celdillas hexagonales dispuestas de forma que no desperdiciaban ningún espacio. Pappus demostró que este comportamiento de las abejas es el más óptimo posible. Comprobó que sólo hay tres polígonos regulares que enlosan el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Basado en los trabajos de Zenodoro (180 a.C.), Pappus demostró: A igualdad de perímetros de los tres polígonos regulares que enlosan el plano y, por tanto, de cera necesaria para construir las paredes de las celdas se cumple que el hexágono es el que encierra mayor área. Sin embargo, un panal es un objeto tridimensional y está constituido no exactamente por prismas rectos con base hexagonal, sino por prismas hexagonales pero truncados por tres rombos. Aún más: la forma de los panales es mejorable; se podría construir una celda de la misma capacidad y menor área (menos cera), terminado el prisma hexagonal con una sección del octaedro truncado, pero la construcción sería más compleja.

Es importante mencionar que este hecho de la naturaleza ha sido materia para ejemplificar las ideas platónicas de los objetos matemáticos, es decir, afirmar que las abejas lograron optimizar su producción de miel porque descubrieron el hexágono. Una especie de idea ingenua: pensar que las abejas demostraron que la forma de optimizar su producción de miel es almacenarlo en celdas en forma de prismas rectos hexagonales. Es decir, las abejas son capaces de hacer la misma matemática de Pappus de Alejandría.

En mi opinión, ninguna abeja sabe matemática, no existe evidencia científica para creer en la idea platónica. Comúnmente se olvida que todo en la naturaleza está sometido al proceso de evolución por miles de años y que sobrevivir es la razón de ser de todo ser viviente, incluidas las abejas. El proceso que realizan las abejas es instintivo y se logró después de cientos de miles de años; y no son exactamente prismas hexagonales rectos, sino objetos parecidos y más complejos.