Siempre se ha dicho que la matemática es abstracta; pero en general, las personas creen que abstracto significa “oscuro de entender”, ser hecho por símbolos, que genera un lenguaje difícil de conocer o no tener existencia física concreta, etc. Sin embargo, el término abstracto en matemática significa la separación conceptual de una propiedad del objeto matemático creado. Por ejemplo, el objeto matemático uno significa la idea conceptual de ser único, independiente de objeto material que pueda representar el uno. El dos es la idea conceptual de ser par, independiente de los objetos materiales que lo representen.

Todos los números naturales son objetos abstractos porque representan ideas conceptuales de cantidad y de ordenamiento de distintos objetos materiales que puedan representarlos. Esta idea es llamada proceso de abstracción; para comprenderla, se requieren números mayores a tres y formación en la escuela básica. La representación simbólica de estos números es posterior a la comprensión conceptual. Las formas geométricas básicas también son objetos matemáticos, en ese mismo sentido, independiente de los objetos materiales que se le parecen. Es común confundir un objeto material como el Sol o la Luna con la esfera matemática, que se encuentra conceptualmente en la mente humana y es representada por una ecuación o un pictograma.

Inicialmente, los números y formas constituyen un primer nivel de abstracción, donde se estudian sus propiedades intrínsecas, por ejemplo, conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro, etc.; por supuesto, después de haber definido la operación binaria, es decir, una vez inventado el objeto matemático, el trabajo del matemático consiste en descubrir sus propiedades y convertirlas en teoremas.

Una vez que estos objetos matemáticos (números, formas geométricas, funciones, etc.) son estudiados, estableciendo sus propiedades y teoremas, se buscan objetos matemáticos para separar estas propiedades comunes, por ejemplo, es fácil darse cuenta que la propiedad conmutativa de la suma en los números naturales también se encuentra en los números enteros, en los racionales, los reales, en las matrices y hasta en las funciones de variable real; luego empieza un segundo nivel de abstracción: separar distintos objetos matemáticos con propiedades comunes; por ejemplo, los conjuntos que poseen propiedades algebraicas comunes de asociatividad, existencia del elemento neutro, existencia del elemento inverso para cada uno de sus miembros y llamarlo “grupo algebraico”; y si además es conmutativo, se le llama “grupo abeliano”. Si ampliamos estas propiedades comunes a otra operación (por ejemplo, la multiplicación) definida en el conjunto, podría ser definido como un “anillo”. Este segundo nivel de abstracción inició en el Siglo XIX, después de haber madurado esta idea por milenios.

Desde los objetos geométricos también se pueden establecer tales separaciones; por ejemplo, por sus formas equivalentes, puede ser por objetos congruentes u objetos que se pueden deformar uno en el otro sin romperse (véase artículo ¿Qué es la topología algebraica?). Este segundo nivel de abstracción es un mundo fascinante; se inventan objetos y descubren propiedades comunes y constituye una buena parte de la formación inicial de un matemático.

Un tercer nivel de abstracción inició en el Siglo XX con los trabajos de los matemáticos Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942: crearon la Teoría de Categorías, donde volvieron a conectar objetos algebraicos (como los grupos algebraicos, los anillos, los módulos, etc.) con objetos geométricos (como las superficies, espacios topológicos, etc.) mediante un dispositivo que llamaron funtor. Este dispositivo tiene el propósito de preservar las operaciones entre los objetos algebraicos (por ejemplo, mediante isomorfismos), con los objetos geométricos (por ejemplo, mediante homeomorfismo), además de asociar un objeto geométrico con un objeto algebraico. Por ejemplo, un grupo algebraico trivial formado por un solo elemento se asocia a una esfera.

Es una idea revolucionaria, profunda y extremadamente útil en el trabajo matemático contemporáneo. Alexander Grothendieck (1928-2014) ha contribuido profundamente con nuevas ideas y métodos, dejando un legado invaluable para los matemáticos del futuro. Estos tres niveles de abstracción constituyen lo que está detrás del trabajo matemático contemporáneo, ideas fascinantes pero muy complejas, un desafío intelectual para quienes gustan de la matemática.