La geometría euclidiana es también llamada geometría sintética o constructiva porque estudia los objetos sin el uso de coordenadas o métodos algebraicos inventados en el Siglo XVII, por lo que empezaron a llamarla geometría analítica. La geometría griega, sintética en sus inicios, se desarrolló con una fuerte base intuitiva por su estrecho apego a la realidad física. Esta característica causó que, en el Siglo XVIII se planteara una matemática pura que estaba constituida con la aritmética, el álgebra, el análisis y de una matemática mixta constituida con la geometría y la mecánica a la vez. La diferencia sustancial entre ambas consistía en que los conceptos de la matemática (el de número, por ejemplo) eran puramente mentales, mientras que los de la matemática mixta necesitaban un referente material para ser concebidos. Es decir, un pensamiento puro vs un pensamiento empírico.

Se consideraba que mientras la geometría sintética existía a priori (idea de Emanuel Kant), la matemática pura era producto del intelecto. Sin embargo, la idea de Kant fue cuestionada cuando apareció la geometría no euclidiana a mediados del Siglo XIX. Con esta concepción matemática se formó David Hilbert durante su juventud, como lo revelan los apuntes en los que se basaba para impartir cursos de geometría entre 1891 a 1905. Fue su visión inicial de geometría y matemática la que cambió en su etapa más madura.

En estas notas, elaboradas por David Hilbert con base en una profunda reflexión filosófica –práctica que se echa de menos en las clases de matemática actuales– dividió a la geometría en tres clases: geometría intuitiva (euclidiana, proyectiva, análisis situs); geometría axiomática (la que establece ciertas proposiciones para su existencia) y geometría analítica. Esto obligó a Hilbert a definir un programa de investigación que le sirvió para establecer su famoso método axiomático en la geometría, con el que reformó la geometría sintética en los términos más rigurosos para desligarla de la geometría intuitiva o sintética. Éste fue el inicio del formalismo matemático.

En el Siglo XIX surgió una gran controversia epistemológica entre los partidarios de los métodos sintéticos y analíticos. Es importante mencionar que los trabajos de August Mobius (1790-1868) demostraron que la geometría proyectiva, catalogada como intuitiva y sintética, también puede ser estudiada con el uso de la coordenada homogénea, y ésta también posibilita el desarrollo de la forma analítica. Además, Moritz Pasch (1843-1920) inventó una geometría proyectiva axiomática. La dificultad para establecer una isovalencia entre los métodos sintético y analítico radicaba en la concepción de número real, que fue dilucidado con los trabajos de Richard Dedekind a finales del Siglo XIX. La demostración de la existencia de los números reales confirma que ambos métodos son equivalentes.

Sin embargo, resurge entonces el método axiomático como una forma de unificar al conocimiento matemático con el pensamiento puro, eliminando todo rastro empírico. Este programa empezó con el libro Fundamentos de la Geometría, de David Hilbert, y fue producto de sus apuntes de clase. En esta obra se establecieron los axiomas de existencia, posición, continuidad y congruencia que permitieron rigorizar la geometría intuitiva de Euclides. El cambio epistémico experimentado por Hilbert fue producto de la conferencia de Hermann Wiener (1857-1939) titulada Sobre los fundamentos y la construcción de la geometría, en la que se plantea la posibilidad de construir una geometría abstracta independiente de lo empírico, partiendo de objetos no definidos y algunos axiomas independientes –no necesariamente evidentes– pero isovalentes a la geometría intuitiva. Esta conferencia marcó a Hilbert para el resto de su vida.

A partir del análisis de objetos no definidos y sus relaciones básicas nació la idea que Hilbert siempre sostuvo: “hablar de mesas, sillas y jarros de cerveza es lo mismo que hablar de puntos líneas y planos”. Está pensando no en el objeto en sí, sino en la relación que hay entre ellos, noción genial que transformó a la matemática en el constructo jamás realizado por los seres humanos. Esta sola frase resume la nueva epistemología matemática llamada formalismo que, hasta el día de hoy, impregna a la matemática del mundo.