En artículos anteriores hemos abordado la conexión entre la geometría y el análisis matemático (Geometría Diferencial), entre la topología y el Álgebra Abstracta (Topología algebraica). Aunque la conexión entre el Álgebra y la Geometría fue llamada Geometría Analítica (resolvía problemas geométricos usando las técnicas del Álgebra Elemental), ¿existe conexión entre el Álgebra de Polinomios y la Geometría?

Una primera aproximación deriva de los sistemas lineales, cuyas soluciones son objetos geométricos y que es materia del Álgebra Lineal.

Informalmente podríamos decir que la Geometría Algebraica estudia la Geometría de las soluciones de sistema de ecuaciones no lineales. Su estudio y estructura son conceptualmente mucho más amplios y ricos que los de los sistemas lineales.

Las soluciones para un sistema de ecuaciones de tres variables son un conjunto de puntos que, geométricamente, pueden ser un punto, una recta (intersección de dos planos, representado por cada sistema) o un conjunto vacío (si los planos son paralelos). Se observa que las soluciones del sistema de ecuaciones son objetos geométricos básicos. Esta misma idea puede extrapolarse para sistemas de ecuaciones lineales que no tengan coeficientes en los números reales sino en un campo finito, donde se obtendrán soluciones que no tendrán un correlato geométrico (punto, rectas o planos); pero si se preserva la estructura algebraica de estas soluciones, tal riqueza algebraica es la que importa para la Geometría Algebraica. En general, en lugar de estudiar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales (propias del Álgebra Lineal), podemos cambiarlas por ecuaciones polinómicas. Una especie de Álgebra no Lineal. Esto es la idea central que se encuentra en la llamada Geometría Algebraica.

El conjunto de soluciones de una ecuación polinómica es llamado variedad algebraica que, en algunos casos, puede tener un correlato interpretativo-geométrico (rectas, parábolas, elipses, etc.). Por ejemplo, cuando los coeficientes de un sistema de ecuaciones polinómicas son números complejos, la variedad algebraica asociada tiene una similitud (salvo puntos singulares) con una variedad topológica, o una variedad diferenciable compleja (son objetos similares a una superficie). Para estos casos es posible definir conceptos de la Geometría Diferencial para estas variedades como, por ejemplo, concepto de dimensión, plano-tangente, derivadas, diferenciales, de ceros y polos de funciones, etc., sin ninguna estructura topológica o diferenciable en la variedad, sino interpretando conceptualmente sus características algebraicas. En el caso de que el sistema de ecuaciones polinómicas tenga coeficientes en un campo finito, no existen estás interpretaciones geométricas, pero sí su conceptualización algebraica. Es por ello que la Geometría Algebraica es muy valiosa para estudiar Teoría Algebraica de Números.

La riqueza conceptual de la Geometría Algebraica es enorme; es una de las líneas de investigación que más se desarrolla en los grandes centros del mundo; los matemáticos especializados en estos temas comúnmente ganan los premios internacionales; estas técnicas han sido fundamentales para resultados profundos en la matemática contemporánea y han permitido resolver problemas trascendentales en la matemática actual. Su estudio involucra áreas sofisticadas de la matemática como el Álgebra Conmutativa, Topología Algebraica, Geometría Diferencial, teoría de funciones de variable compleja, teoría algebraica de números, teoría de categorías, cohomología de grupos, etc. Es importante decir que la Geometría Algebraica trata, en general, sobre la geometría de las soluciones de sistemas algebraicos, no sólo de ecuaciones polinómicas.

 La Geometría Algebraica empezó a desarrollarse con los geómetras italianos a principios del Siglo XX; sin embargo, entre 1930 y 1940, los trabajos del matemático norteamericano Oscar Zariski (1899-1986) y del francés André Weil (1906-1998) dieron las primeras bases de la Geometría Algebraica usando Álgebra Conmutativa. En los años 1950 y 1960, el matemático francés Jean Pierre Serre (1926-) y Alexander Grothendieck (1928-2014) lograron reformular este enfoque usando un dispositivo matemático muy potente llamado haces. Este profundo concepto dio origen a la Teoría de Esquemas; para ello se valieron del Álgebra Homológica. En 1970 alcanzó la madurez actual, cuando se encontraron conexiones con la Teoría de Números. Su desarrollo ha sido espectacular: grandes matemáticos se especializan en Geometría Algebraica, por ser una herramienta muy potente para resolver problemas de envergadura en la matemática actual.