Cuando cursé por primera vez la asignatura de álgebra abstracta en la Licenciatura de Matemática, me sorprendió que los contenidos eran muy distintos al álgebra que conocía en ese entonces. Podía entender que, en el nivel superior, se demostraran axiomáticamente las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales), como fue mi primer curso de álgebra en la universidad. Pero ver definiciones de monoides, grupos, homomorfismos, anillos, cuerpos, etc., en la asignatura de álgebra abstracta, sin ninguna explicación de sus orígenes, sólo un formalismo a ultranza, motivó mi interés en conocer la historia y filosofía de la matemática.

Las raíces históricas del álgebra escolar se desarrollaron hasta principios del Siglo XIX. Sin embargo, los viejos problemas de la antigüedad (trisección de un ángulo con regla y compás, duplicación del cubo, cuadratura del círculo) se mantenían sin resolver. Por aquellas épocas ocurrió un agotamiento de las técnicas prácticas del álgebra, eran estériles para solucionar no solamente los problemas de la antigüedad, sino también para buscar resolver las ecuaciones de quinto y mayor grado mediante radicales, problemas planteados por los matemáticos italianos del Siglo XVI.

Tal agotamiento epistemológico de éste y otros problemas específicos condujeron a una tercera revolución matemática, un cambio de paradigma en esta área del conocimiento; en este contexto nacieron las primeras ideas del álgebra abstracta. ¿En qué consistió este nuevo hacer matemático del Siglo XIX? Básicamente en una matemática más conceptual; en el caso del álgebra, en lugar de centrarse en la operatoria y/o manipulación ingeniosa de las incógnitas en una ecuación algebraica, se preguntaron sobre las propiedades intrínsecas de las soluciones; y encontraron una suerte de simetrías en las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, simetrías que se preservaban con los radicales. Fue fantástico entender que preservar las simetrías en las raíces garantizaba una solución por radicales. Había que trabajar con las permutaciones de las posibles raíces de una ecuación de quinto y de mayor grado.

Aunque las primeras ideas de trabajar con permutaciones de raíces se deben a Joseph Lagrange (1736-1813), su trabajo no llegó tan lejos como la de Evaristo Galois (1811-1832), un joven francés de apenas 21 años. Fue el primero en hablar de Grupos de permutaciones, acuñando la palabra grupo para la posteridad. Sus ideas revolucionarias no fueron entendidas por los matemáticos de la época: planteó los grupos cocientes, grupos solubles, etc. Murió en un duelo a sus 21 años, sin saber la trascendencia que alcanzarían sus ideas en la matemática de la posteridad.

La actual definición de grupo abstracto se debe a Arthur Cayley (1821-1895); Richard Dedekind (1831-1916) estableció las nociones ideales y de cuerpo; la noción de anillo se debe a David Hilbert (1862-1943).

La formalización de las ideas de Evaristo Galois condujo a probar que las simetrías de las raíces en las ecuaciones de quinto y mayor grado no se preservan; probando, mediante unas cadenas de subgrupos, que no existe solución por radicales de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y más. Potente resultado que superó las antiguas formas del trabajo algebraico. Además, las construcciones con regla y compás, fueron formalizadas por medio de cuerpos algebraicos, permitiendo demostrar la imposibilidad de cuadrar el círculo y la duplicación del cubo.

La trisección de un ángulo con regla y compás probó que sólo era posible para ciertos casos particulares; todo esto se demostró sin el uso de esos instrumentos de dibujo. La solución a los problemas de la antigüedad fue el incentivo más importante para seguir trabajando en esta matemática conceptual, en vez de una matemática operatoria. Este nuevo hacer matemático ha quedado impregnado en nuestra formación matemática. El formalismo hilbertiano lo ha consolidado; sin embargo, le quitó la riqueza histórico-filosófica que no permite visualizar el propósito del hacer matemático.

La palabra abstracta es producto de su génesis; sería más propio decir álgebra conceptual como es toda la matemática en la actualidad. La conexión del álgebra abstracta con la geometría y el análisis matemático es uno de los progresos más fascinantes de la matemática actual.