En algunos cursos de matemática universitaria, aparecen ciertos términos, como topología de la recta, topología del plano, gráficos topológicamente equivalentes, etc. Es un lenguaje técnico poco explicado, a pesar de su trascendencia en las ideas matemáticas modernas. Este vocablo tiene que ver con la idea de aproximación y las formas geométricas.

Para aproximarnos a un punto fijo en la recta o en plano, es necesario medir las distancias hacia ese punto, que deben hacerse cada vez más pequeñas. Es decir, si sabemos cómo medir la distancia, entonces podemos entender el significado de “aproximación”. Desde esta perspectiva, en la recta, en el plano y en el espacio, es posible entender la aproximación. Con esto podemos comprender las rupturas o saltos que puede experimentar una curva en el plano o en el espacio y más figuras espaciales en donde también pueden estar rotos, cuando sus puntos no están cercanos o próximos.

La idea es fascinante, cuando estas figuras mantienen esa cercanía, aun de deformaciones, que puedan sufrir, por ejemplo, podemos imaginar una esfera con un asa al deformarse en una tasa de café (con una oreja) o transformarse en una dona. Estas deformaciones no pueden realizarse con cortes o separaciones; el objetivo debe ser siempre mantener las cercanías en la figura inicial y en la figura transformada. Esta deformación o transformación se realiza con un dispositivo matemático llamado función continua (aquella que preserva las aproximaciones en ambas figuras).

Esta fascinante idea se puede realizar si podemos medir cercanías mediante la definición de una distancia. Uno de los resultados más importantes del Siglo XX derivó de haber clasificado todos los objetos de nuestro espacio-ambiente en esferas con asas, si eran orientables. A todos estos estudios se les llama Topología.

¿Qué pasa si no se trata de la recta, el plano o el espacio-ambiente?, ¿cómo podemos medir las distancias? Por ejemplo, cómo medir distancias si el conjunto está formado por 10 manzanas. En general, en un conjunto no se tiene forma de medir la distancia, así como se hace en la recta, en el plano o en el espacio. Para ello se tienen que capturar las propiedades esenciales de la distancia para que esto nos permita entender la cercanía en ese conjunto; o sea, poder definir en ese conjunto funciones continuas (aquellas que preservan las cercanías). En otras palabras, dotar a este conjunto de alguna estructura que nos permita concebir la idea de cercanía. Los matemáticos llaman a esa estructura una topología para el conjunto. Lo fascinante de esta idea consiste en que “aproximar” también se puede concebir sin distancia.

Estas ideas no sólo sirven para clasificar figuras en nuestro espacio-ambiente, sino también para caracterizar la geometría de nuestro universo o establecer el movimiento de los flujos de calor para comprender que el único objeto sin hoyos en una dimensión mayor a nuestro ambiente es también una esfera (resultado conocido como la conjetura de Poincaré). La clasificación de objetos en una dimensión mayor a nuestro ambiente (tridimensional) fue resuelto por el ruso Gregory Perelman, quien solucionó, en el año 2005, la conjetura de geometrización de Thurston.

La Topología es una de las ramas más fascinantes de la matemática, por ser muy importante para formalizar rigurosamente conceptos del análisis, la geometría, las ecuaciones diferenciales, etc., incluso tiene intersección en el álgebra abstracta, generando objetos matemáticos híbridos como por ejemplo los Grupos Topológicos, con interesantes aplicaciones a la Física Contemporánea.

Como disciplina en sí, es una de las más duras a estudiar, por ejemplo, la Topología conjuntista, el álgebra topológica y distintos espacios de aproximación de funciones, etc.

Sus orígenes se establecen en el Siglo XVIII con las ideas de Leonard Euler, ya que instaura la independencia de la distancia en la solución del problema de los siete puentes de Königsberg, donde nace la Teoría de Gafos. Antiguamente se le llamaba Análisis Situs, que Gottfried Leibniz acuñó cuando se refirió a problemas independientes de la distancia. La definición actual de Topología se debe a Félix Hausdorff; estas ideas se profundizaron con los trabajos del ruso Pavel Alexandroff y del polaco Waclaw Sierpinski.