La geometría analítica es producto de un cambio epistémico en el hacer matemático. Tras la consolidación de los métodos analíticos del cálculo diferencial e integral durante los Siglos XVII y XVIII en la solución de los problemas de la naturaleza, se gestó desde los comienzos del Siglo XIX, un nuevo paradigma en el hacer matemático, a saber: el desarrollo de una matemática más conceptual. Uno de los ideólogos de este nuevo paradigma fue el alemán Bernhard Riemann, quien estableció una nueva forma de construir los objetos matemáticos con base en “ideas conceptuales”; por ejemplo, entendió que la geometría de su época era esencialmente métrica. El concepto de distancia fue clave. Capturando las tres propiedades esenciales de la distancia euclidiana, se observó que puede ser definido abstractamente como una bilineal definida positiva para establecer distintos mundos geométricos, dependiendo de la distancia asociada al objeto geométrico.

La noción de distancia introducida en los objetos geométricos euclidianos necesitó algunas herramientas técnicas; y fue el mismo Riemann quien estableció conectar las herramientas del cálculo diferencial e integral con la geometría de estos nuevos objetos, creando lo que hoy día se conoce como geometría diferencial.

La geometría diferencial resuelve problemas geométricos con las herramientas del cálculo diferencial e integral. El estudio intrínseco de las curvas y superficies fue una de las primeras líneas de trabajo. Caracterizar la forma local de estos objetos (su curvatura, su torsión, etc.), primero con distancias euclidianas y luego con distancias no euclidianas, a este tipo de estudio actualmente se le conoce como geometría riemanniana, incluida en la geometría diferencial.

Pasar del cálculo práctico, de la geometría analítica y del cálculo diferencial e integral, a un desarrollo conceptual, más abstracto, donde se inventa un nuevo sistema formal que es generado al considerar diversas distancias (bilineales definidas positivas) en los objetos geométricos, contribuyó a iniciar una tercera revolución matemática, y con ello una revolución epistémica en el trabajo matemático a mediados del Siglo XIX.

El proceso de abstracción de la geometría diferencial estuvo acompañado por el desarrollo del álgebra lineal, también cada vez más abstracto. Estos componentes conceptuales conformaron la base para establecer estas mismas ideas sobre objetos abstractos no necesariamente métricos, pero que se parecieran localmente a los espacios euclidianos; estos nuevos objetos matemáticos fueron llamados variedades topológicas (para Riemann, la palabra variedad era sinónimo de conjunto). Si se dota a estas variedades topológicas con una estructura en donde se puedan definir funciones continuas y funciones diferenciales, estos nuevos objetos serán llamados variedades diferenciables.

Estos hechos fueron los primeros intentos de abstracción que rebasaron los límites de la intuición humana, pero que conservaban la riqueza conceptual del cálculo diferencial e integral y de la geometría de superficies. Si se dota a estas variedades diferenciales de una distancia abstracta (bilineal definida positiva), estamos ante la presencia de variedades riemannianas. La riqueza conceptual de estos nuevos objetos matemáticos es de una belleza intrínseca impactante.

Aunque en esa época tal elucubración formal abstracta no tenía un asidero fáctico, resultó fundamental para que Albert Einstein propusiera su famosa teoría de la relatividad sobre una base matemática sólida. Hoy día entendemos las formas del Universo con base en la topología y en la geometría riemanniana y hemos sido capaces de inventar la mecánica cuántica con base en esta nueva manera de entender la matemática. Tal forma conceptual, que caracteriza a la matemática hasta el día de hoy, acompañada por un determinado formalismo (sistema formal) ha permitido desarrollar el conocimiento matemático como en ningún otro momento de nuestra historia.

Es importante mencionar que estas ideas conceptuales de Riemann tuvieron una base previa en las ideas de Carl Gauss, Gaspar Monge, etc., la matemática se desarrolla colectivamente a través del tiempo. En esta génesis de la geometría diferencial, se encuentran las primeras ideas de la teoría de conjuntos, que resultaron esenciales para la construcción de la matemática del Siglo XX.