Uno de los temas matemáticos del que más se ha escrito es sobre el Cálculo Diferencial e Integral; existen cientos de textos de distintos niveles, actualmente incluyen elementos gráficos que ayudan a una buena comprensión de los temas tratados. Sin embargo, si se preguntara a cualquier matemático cuál es el mejor libro para enseñar Cálculo, es altamente probable que elija al famoso libro Calculus, de Michael Spivak; ¿qué tiene de especial un libro escrito en 1967 sin las herramientas de diseño que tienen las actuales ediciones de matemática?

La fortaleza de este libro consiste en que representa un encuentro real con la matemática, es decir, si se quiere empezar a entender conceptualmente el Cálculo sin perder rigor. La redacción del profesor Michael Spivak en el texto es como tenerlo al frente en una pizarra explicando, verlo cómo conjetura y piensa los conceptos matemáticos que introduce natural e intuitivamente, sin perder rigor absoluto. Este estilo es lo óptimo cuando se enseña un curso de matemática, en particular el Cálculo, que tiene ideas intuitivas que deben ser ejemplificadas de manera natural y formalizadas rigurosamente. Es un primer contacto con un matemático profesional con vocación de maestro.

El libro de Cálculo de Spivak cuenta con 625 problemas –son necesarios en todo texto de matemática– desde problemas directos de cálculo hasta los más complejos que desafían a los estudiantes más dotados. Esto último es importante porque, en general, uno de los criterios para valorar un libro de matemática por un matemático profesional es el nivel de dificultad contenido en sus problemas propuestos.

Algo interesante del libro son sus Lecturas aconsejadas, donde el autor comenta algunas obras que tienen temas interesantes relacionadas con el Cálculo como, por ejemplo, el Teorema Fundamental de la Aritmética, los números irracionales y reales en general, teoría de conjuntos, análisis de desigualdades, geometría elemental desde una perspectiva avanzada, series e integrales de Fourier, ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial, álgebra abstracta, etc. Esta parte del libro contiene interesantes e importantes lecturas que profundizan el contenido del texto; son pocos los libros de matemática que contienen bibliografía seleccionada y comentada, lo que da a la obra una característica muy especial.

A pesar de los años y de las escasas herramientas pedagógicas en su diseño, resulta vigente y muy recomendado por los matemáticos. A mi juicio, es por estar escrito como si tuviéramos enfrente al profesor Michael Spivak. La presencia activa del maestro es fundamental en un buen curso de matemática; el alumno debe ver al profesor haciendo matemática en una pizarra, observar cómo nacen las ideas, cómo se plantean las conjeturas, cómo se analiza un problema, qué errores pueden cometerse, etc.; sin estos elementos, es muy difícil aprender matemática. Desde el punto de vista antropológico, el ser humano aprende haciendo, con sus propias manos, no aprende mirando, sólo puede comprender, porque no es lo mismo que aprender.

El contenido de Calculus es el natural: Funciones, Límites y Continuidad, Derivadas e Integrales, Sucesiones y Series infinitas, es decir, todo el Cálculo en una variable real. Contiene, además, algunos temas más sofisticados como la Continuidad uniforme, Convexidad y Concavidad, Representación paramétrica de curvas, la irracionalidad de π, etc. Lo interesante radica en la forma que aborda el contenido y los problemas planteados.

Desde luego, aunque se tuviera enfrente al mismísimo Michael Spivak enseñando el curso de Cálculo con todo el empeño que exige explicar los fascinantes temas de esta materia, no se conseguirá aprender si el alumno no pone disciplina de trabajo intelectual de su parte, es decir, con el lápiz y papel, repasar la explicación y hacer un intento honesto de resolver la mayor cantidad de problemas contenidos en el libro.

A mi juicio, junto al excelente libro de Cálculo de Spivak, existe otro mejor; no es el Apóstol –como muchos estarán pensando–, es un libro poco conocido y lo presentaré en el próximo artículo.