Para la mayoría de los matemáticos profesionales, el libro Calculus, de Michael Spivak, es el mejor libro para enseñar y aprender el Cálculo Diferencial e Integral en una variable. El texto establece la explicación oral del curso como si estuviéramos frente al maestro Spivak, un matemático de prestigio internacional, un privilegio que sólo sus alumnos han tenido.

Al ser la visión particular del profesor Spivak, no resulta restrictivo a otras visiones del curso. En la actualidad podríamos decir que existen muchos libros de Cálculo con un desarrollo similar, con más o menos herramientas tecnológicas, escrito por matemáticos-pedagogos, y que han tenido mucho éxito comercial.

Al parecer, hoy día es mucho más fácil aprender Cálculo que en épocas anteriores, cuando no existían los procesadores de texto ni los softwares que existen hoy. Sin embargo, como matemático, ninguno de ellos me satisface, porque considero que facilitar la comprensión de un contenido matemático no trae automáticamente un aprendizaje efectivo. Es necesaria la disciplina de trabajo intelectual para razonar y pensar, porque ninguna máquina puede sustituirla.

El dominio absoluto del curso es indispensable, explica los aspectos esenciales, contextos, nuevas perspectivas filosóficas, acompañados por mucha práctica; desde el hacer del matemático (discutir problemas propuestos), es fundamental para enseñar cualquier curso de matemática. Por ello, es importante que un buen libro de Cálculo dé esta libertad para que cada profesor muestre su experiencia y visión particular del curso. En ese sentido, el libro de Spivak es restrictivo; es mejor un libro que esté redactado rigurosamente desde lo estrictamente formal para que deje al profesor explicar la materia desde su experiencia y visión particular.

Entre los libros de Cálculo con estas características, el del profesor Joseph Kitchen, de la Universidad de Duke, es un libro poco conocido; pero los que han accedido a él valoran mucho el rigor inflexible de su contenido sin perder la visión intuitiva para comprender conceptos que los matemáticos han refinado durante miles de años. Como escribe el mismo autor: “he intentado mantener un alto nivel matemático sin caer en el dogmatismo estrecho y farisaico”.

El libro comienza con la caracterización de los números reales como un cuerpo ordenado y completo, acompañado de ejercicios y problemas interesantes desde el enfoque histórico-matemático; por ejemplo, números de Fibonacci, fracciones continuas, diferencias finitas, polinomio de Legendre, y de Chebyshev, números Bernoulli, etc. Se plantean contraejemplos entre los ejercicios, algo muy valioso en la formación matemática. En el Prólogo se encuentra alguna sugerencia para abordar el curso y una explicación de por qué insistir en la Integral de Riemann, en lugar de la Integral de Lebesgue, como lo recomiendan otros matemáticos como Jean Dieudonné.

La obra Cálculo, de Joseph Kitchen es una guía matemática del cálculo, muy formalizada, muy bien escrita: deja total libertad para la explicación del profesor, ejercicios y problemas interesantes para ser discutidos en clase; el profesor debe mostrar en la pizarra cómo se trabaja en matemática, cómo se conjeturan ideas y las soluciones diversas.

Los alumnos motivados deben plantear ideas y conjeturas; eso enriquece la clase de matemática. El mejor libro de matemática debe ser el que el mismo profesor ha escrito, con su visión, enfoque (si es novedoso, mejor) y experiencia. La formación matemática del profesor resulta fundamental: lo ideal es que sea un Doctor en Matemática, porque él ha tenido la experiencia de cómo nacen los teoremas, cómo se hace la matemática y sería capaz de dar al curso su propia impronta.

Es oportuno mencionar que, hace mucho tiempo, la Escuela Norteamérica introduce los temas de la Geometría Analítica con los temas del Cálculo (Spivak y Kitchen no son la excepción). Creo que la Geometría analítica tiene un valor por sí misma y merece un estudio aparte, como era antiguamente; cuando se mezclan estos dos temas, no se aprende ni lo uno ni lo otro: por no enfocar los temas en una sola línea. Primero, un buen curso de Geometría Analítica –ojalá con enfoque vectorial– y luego un buen curso de Cálculo.