Cargando, por favor espere...

Fourier y su contribución a la matemática moderna
Fourier consideraba que toda función continua puede representarse como una serie infinita de senos y cosenos.
Cargando...

Joseph Fourier (1738-1830) fue un matemático francés que vivió en la época napoleónica, de grandes cambios a favor de la ciencia. Su contribución más importante fue en la teoría matemática de difusión, en donde profundizó las series que llevan su apellido e inventó las transformadas de Fourier. Las series de Fourier fueron establecidas en los trabajos de Leonard Euler (1707-1783), Brook Taylor (1685-1731), Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean D’Alembert (1717-1783), a principios del Siglo XIX, aún quedan las secuelas de la matemática poco rigurosa del Siglo XVIII.

Bajo estas deficiencias, Joseph Fourier hizo un planteamiento a la Academia de Ciencias de París, que fue publicado (en su versión más acabada) en 1822, como: Teoría de propagación del calor de los sólidos. Las críticas que recibió de matemáticos connotados como Lagrange, Laplace, Lacroix y Monge, hizo que no se publicara antes. A pesar de las críticas que recibió por la falta de rigor en sus afirmaciones, Fourier consideraba que toda función continua puede representarse como una serie infinita de senos y cosenos, en donde hacía cálculos de integrabilidad en series infinitas, sin mayor fundamento. Joseph Fourier no consideraba importante todo ello, para él lo más importante era que describiera o diera cuenta del fenómeno físico –en este caso, la propagación del calor–, tenía una visión utilitarista de la matemática y consideraba que ésta debería ponerse al servicio de resolver los problemas naturales y sociales. No vivió para ver que sus ideas serían esenciales para el desarrollo de la matemática moderna e incluso con proyecciones tecnológicas insospechadas en su época; por ejemplo, hoy la teoría de Fourier fundamenta la teoría de señales, la transmisión de sonido e imágenes, el desarrollo de la transformada de Fourier es muy importante en astrofísica. En este artículo describiremos brevemente la contribución de las ideas de Fourier que repercutieron en el desarrollo de la matemática moderna:

La escritura de una función como una serie trigonométrica infinita genera preguntas interesantes, por ejemplo, cuáles son los puntos en donde ésta converge; el mismo Fourier había trabajado con funciones con un número finito de discontinuidades. Fue George Cantor quien trabajó este problema en su tesis doctoral, para un número infinito de discontinuidades. Cantor concibió los conjuntos derivados, los puntos de acumulación y las ideas básicas de la topología conjuntista.

En 1829, a partir de su estudio de la convergencia de la serie de Fourier, Peter Dirichlet (1802-1856) demostró que la serie es convergente para una función continua y acotada y que los coeficientes de Fourier están bien definidos. A raíz de estos estudios, Dirichlet dio la primera definición de función similar a la de hoy día.

Bernhard Riemann (1826-1866) extendió la noción de integral, a fin de hacer plausible la representación en serie de una función, introdujo la derivada generalizada.

Condujo a la invención del concepto de convergencia uniforme, usado por Karl Weiertrass (1815-1897), para integrar término a término la serie de Fourier.

A fines del Siglo XIX se empezaron a estudiar las series divergentes.

Henry Lebesgue (1875-1941) inició, en 1902, su teoría de integración; inspirado en los trabajos de Fourier, inventó la integral de Lebesgue para recuperar la función original a partir de los coeficientes de Fourier.

En los primeros años del Siglo XX estudió los sistemas ortogonales (generalizando la idea de ortogonalidad de Fourier), que conducen a los espacios de Hilbert, iniciando el estudio de los espacios L2 como espacio natural para la convergencia de las series de Fourier. El estudio de las series de Fourier se profundizó en el Siglo XX, creándose la teoría moderna del análisis armónico.

Ha sido fuente de inspiración de trabajos sobre convergencia de series de grandes analistas como Henry Lebesgue (1875-1941), Frygies Riesz (1800-1956), Marcel Riesz (1886-1969), Andrei Kolgomorov (1903-1987), Nikolai Lusin (1883-1960), Antony Zygmund (1900 -1992), Lennart Carleson (1928- ), etc.

Es importante mencionar a la teoría de ondículas, cuyos orígenes están en las ideas de Fourier, como un punto de encuentro de físicos, ingenieros y matemáticos. Fue introducida por Yves Meyer en 1985, gracias a la interacción con el físico Alex Grossman y el ingeniero Jean Morlet. 

 


Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla

Colaborador


Notas relacionadas

Los procesos de abstracción propios de la matemática se empiezan a ver desde su génesis, desde la invención de los primeros números, las primeras formas geométricas y el primer sistema formal hace dos mil 300 años por los griegos.

El Centro Nacional de Investigaciones Científicas (CNRS) francés sostuvo que en plena selva amazónica descubrió una “extensa red de ciudades de dos mil 500 años de antigüedad”.

Es de conocimiento general que, a principios del Siglo XX, los obreros de las minas de Cananea y de las fábricas textiles de Río Blanco organizaron una serie de huelgas para exigir mejores condiciones laborales.

Los métodos de investigación de Kepler, fueron cuestionados por el mismo Galileo Galilei por su misticismo e ideas que mezclaban la ciencia con la religión.

En esta ocasión transcribimos fragmentos del Romance de Don Quijote de la Mancha (El último capítulo), obra del poeta yucateco José Peón Contreras (1843-1907).

El Siglo XXI es de la comunicación matemática, espero que en el futuro se sumen una mayor cantidad de divulgadores y difusores del conocimiento matemático, así la contribución para nuestra sociedad será enorme, entre sus muchos beneficios, porque mejorará la educación ciudadana.

El ser humano ha entendido las diferentes formas de vida a través de la observación, distinguiendo las similitudes y diferencias de los organismos.

La brujería surgió junto con los dioses más antiguos y se ha mantenido desde entonces.

El agua es un elemento que se encuentra en nuestro cuerpo cubriendo un 40 o 60 por ciento de su totalidad, así como en la Tierra, abarcando un 70 por ciento de ésta.

El Meteorito de Allende abrió “una ventana para entender el origen del Sistema Solar” y junto a otro célebre meteorito “mexicano” de hace 66 millones de años en el área submarina de Chicxulub, ha aportado importantes conocimientos científicos sobre la historia de la Tierra.

A la edad de tres años, cumplidos el pasado 24 de febrero, el conflicto de Ucrania fenece.

Cuatro excavaciones efectuadas en enero han permitido recuperar los vestigios materiales de algunas páginas de la historia virreinal e independiente de lo que fuera el extremo sur de la ciudad potosina.

El trabajo matemático de Alexander Grothendieck se caracteriza por su originalidad y audacia en las ideas.

El mundo está saturado de imágenes y la realidad misma ha perdido significado. Cada individuo se enfoca en su imagen y en agradar a los demás; esto ha permitido que se deje de pensar en lo que ocurre alrededor, que se deje de valorar también lo que está delante.

Mientras el trabajo matemático tiene reglas, axiomas, y su libertad está en función de estar gobernado por sistemas formales; en el trabajo filosófico...