Cargando, por favor espere...

Arquímedes y el cálculo infinitesimal
Los métodos proporcionados por Eudoxo y Arquímedes, hace más de dos mil años, son usados hoy para calcular áreas con cualquier tipo de curvas y volúmenes.
Cargando...

El cálculo infinitesimal, que estudia la unidad de la “discreción y la continuidad” en el mundo de lo infinitamente pequeño, emergió de la fusión entre el método exhaustus de Eudoxo y el método reductio ad absurdum formalizado por Arquímedes. Este último consiste en demostrar que una proposición es verdadera, suponiendo que si no lo fuera, llevaría a una contradicción, por lo tanto, no queda más que ser verdadera. Por ejemplo, para demostrar que raíz de dos es irracional, se niega esta afirmación suponiendo que es racional; después, por medio de una serie de argumentos lógicamente encadenados, se llega a una contradicción. Lo que demuestra que la raíz de dos es un número irracional. Ejemplos de este tipo abundan en la naturaleza matemática, como la proposición sobre la infinitud de los números primos, demostrada por Euclides de Alejandría.

Los métodos exhaustivo y reducción al absurdo fueron usados por Arquímedes para demostrar que el área de un polígono inscrito en un círculo de radio uno y el área de un polígono con el mismo número de lados, pero circunscrito al mismo círculo, coincidían. Arquímedes construyó dos polígonos de 96 lados: uno inscrito y otro circunscrito. Aplicando el método exhaustivo de Eudoxo, encontró el área del polígono inscrito, equivalente a 3.140845 y el del polígono circunscrito a 3.142857. La deducción lógica era: si continuaban  aumentando los lados de ambos polígonos, las áreas en algún momento tendrían que ser iguales, pero demostrar esta aseveración, geométricamente, era imposible. Aquí es donde Arquímedes magistralmente implementó el método por reducción al absurdo: supuso que las áreas encontradas no eran iguales y, a partir de ello, construyó argumentos lógicos que lo llevaron a una contradicción.  

El método reductio ad absurdum, al lado del método exhaustivo, se volvió una herramienta de mucha utilidad entre los griegos para calcular áreas bajo cualquier tipo de curvas. En particular, el área del segmento parabólico, es decir, el área limitada por una parábola y una recta secante a ella. Para ejemplificar, consideremos una parábola abierta hacia abajo que se intersecta con el eje X en A y B. Para agotar el área del segmento parabólico, Arquímedes procedió más o menos de la siguiente manera: trazó un triángulo APB con vértice P en el punto medio del arco de la parábola y los vértices A y B como puntos de intersección de la parábola con el eje X. Posteriormente, al área del segmento parabólico, le restó el área del triángulo APB, quedando, solamente dentro de la parábola, dos segmentos parabólicos menores (dos cuerdas AP y BP). Tomando como base estas cuerdas, construyó dos triángulos nuevos ARP y PQB, con R y Q como puntos medios, respectivamente, de los dos arcos restantes. Arquímedes demostró que el área de cada uno de estos triángulos era igual a una octava parte del triángulo APB. Siguiendo el mismo proceso, volvió a restarle al área del segmento parabólico inicial, las áreas de los triángulos ARP y PQB, quedando ahora cuatro cuerdas: AR, RP, PQ y QB, con los que formó cuatro triángulos y, de la misma manera, demostró que el área de cada uno de estos nuevos triángulos era la octava parte de cada uno de los dos triángulos anteriores. Así continuó ad infinitum y estimó el área total de los triángulos inscritos como cuatro terceras partes del triángulo inicial APB. Como ya se puede observar, estimado lector, al sumar las áreas de todos los triángulos construidos en el interior de la parábola, resulta que dicha suma casi coincide con el área del segmento parabólico. Nuevamente, por reducción al absurdo, Arquímedes demostró que las áreas coincidían y, por tanto, se comprobó que el área del segmento parabólico es igual a cuatro terceras partes del triángulo APB.

Los métodos proporcionados por Eudoxo y Arquímedes, hace más de dos mil años, son usados hoy para calcular áreas con cualquier tipo de curvas y volúmenes y con cualquier tipo de superficies. Ambos métodos fueron retomados posteriormente por el alemán Johannes Kepler para resolver problemas de sólidos de revolución, y por el italiano Bonaventura Cavalieri para crear su principio conocido como principio de Cavalieri. Hoy, los métodos exhaustivo y de reducción al absurdo son los pilares sobre los que se edifica toda la estructura matemática del cálculo infinitesimal.


Escrito por Romeo Pérez

Doctor en Física y Matemáticas por la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Lomonosov, de Moscú, Rusia.


Notas relacionadas

Ayer, el Telescopio Espacial James Webb reveló la imagen más clara hasta la fecha del universo primitivo, que se remonta a 13 mil millones de años, dijo la NASA el lunes.

Esta herramienta prescinde de las cuerdas vocales y restaura el habla ofreciendo esperanza para pacientes con trastornos de la voz.

México cerró su participación en el sexto lugar general de 55 naciones participantes.

Por muy abstracto que se vuelva el razonamiento matemático procede de la realidad material y tarde o temprano vuelve a ella.

La vida de Mendel es un ejemplo clásico de perseverancia. Aunque al principio sus observaciones no tuvieron relevancia para la comunidad científica, biólogos y botánicos llegaron a sus mismas conclusiones décadas después de su muerte.

Para nuestro país, la polinización representa una ganancia económica de entre 100 y 250 dólares por hectárea.

Así se titula el curso que impartiré del 22 de marzo al ocho de abril de 2022 en las instalaciones del Instituto Tecnológico de Tecomatlán de manera presencial y virtual.

La superación de la que habla Marx no niega por completo lo anteriormente construido por la tradición, sino que lo integra y, en algunos casos, lo supone. Aquí lo explico.

El grupo, compuesto por 34 estudiantes de las carreras de Autotrónica, Mecatrónica y Electrónica Industrial, visitan la NASA.

La gran pasión científica de Pierre Laplace era establecer matemáticamente la estabilidad de nuestro sistema solar; para ello, se propuso aplicar las leyes de la gravitación de Newton y explicar ciertas perturbaciones observadas en Saturno y Júpiter cuand

La MIA-F1 reconoce afectaciones de gran magnitud a los ecosistemas de los primeros tres tramos.

Las matemáticas, por muy abstractas que sean, tienen una base real.

Se ha demostrado que aunque no es un alimento completo por sí solo, los productos comestibles a base de maíz aportan grandes beneficios para la salud humana.

Sus ideas científicas fueron muy revolucionarias para su tiempo y no fueron comprendidas por sus contemporáneos

Este miércoles, la Ciudad de México fue reconocida como la ciudad con más puntos conectados a internet en el mundo, superando incluso a Moscú, Rusia. En contraste, también ostenta el primer lugar en mayor desigualdad.