Cargando, por favor espere...
Cuando las limitaciones cognitivas y temporales propias de la especie humana no nos permiten verificar ciertas afirmaciones matemáticas, habitualmente recurrimos a nuestra intuición como una especie de proyección para llegar a lo inalcanzable, por lo tanto, recurrimos a la axiomatización. Cuando no entienden o no pueden cerciorarse bien, los matemáticos axiomatizan, con ello le dan una validez formal a sus afirmaciones, aunque éstas conlleven consecuencias a veces contraintuitivas, como el caso del llamado Axioma de elección, que habitualmente se usa en el trabajo matemático.
Ernst Zermelo (1871-1953) plantea, en 1904, el famoso Axioma de elección, en donde establece la existencia de un conjunto cuyos elementos son extraídos de un conjunto infinito, jugando un poco con la intuición humana. Esta idea ya se había utilizado por otros matemáticos, pero no se encontraba debidamente fundamentada. Ernst Zermelo fue criticado muy duramente por matemáticos de renombre como Lebesgue, Borel, Baire, Hadamad, quienes consideraban que tal función de elección debería ser construida o especificada. Con este Axioma, Ernst Zermelo demuestra que todo conjunto puede ser bien ordenado (entre ellos el conjunto de los números reales) aunque no se muestra cuál es ese orden. Los teoremas de existencia empezaron a ser cuestionados por la comunidad matemática.
Plantearemos la idea de este Axioma:
1.- Evidentemente, si tenemos un número finito de conjuntos diferentes del vacío, en cada conjunto es posible elegir un elemento; esta idea de elegir en cada conjunto diferente del vacío, técnicamente es llamada función de elección. Esta función permite construir un conjunto con los elementos elegidos que es llamado conjunto de elección.
2.- Lo que no es tan evidente es que podamos hacer lo descrito anteriormente si el número de conjuntos diferentes del vacío es infinito. Nuestra temporalidad humana no nos permite verificar que es posible elegir. Sin embargo, apelando a nuestra intuición humana, es plausible afirmar que sí es posible realizarlo y, por lo tanto, generar un conjunto de elección.
El paradigma del formalismo en donde estamos inmersos los matemáticos nos permite decretarlo a través de un axioma, denominado Axioma de elección.
En la práctica matemática, cuando escogemos un representante de una clase de equivalencia, lo hacemos con fundamento en el Axioma de elección. Con este axioma se prueban resultados importantes en la matemática, por ejemplo, que todo espacio vectorial tiene una base, todo conjunto es bien ordenado, los famosos teoremas de Hann – Banach, etc.
Si bien es cierto que la gran mayoría de matemáticos acepta este axioma, existe otro grupo de matemáticos que lo cuestiona, sobre todo los matemáticos de la escuela intuicionista, para quienes no basta decretar la existencia de un objeto matemático, sino que es indispensable construirlo, si no hay construcción, no hay existencia. El matemático formalista acepta este axioma sin mayor objeción, puesto que se permite inventar algún axioma, como regla de juego inicial, lo importante para el formalista es que no entre en contradicción con otros axiomas. En este sentido, la axiomática de Zermelo-Fraenkel es la más difundida para fundamentar casi toda la matemática (con base en la teoría de conjuntos); no entra en contradicción con el Axioma de elección. Este resultado fue probado con los trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen que demuestran que el Axioma de Elección es lógicamente independiente de los otros axiomas de la teoría axiomática de conjuntos.
La aceptación del Axioma de elección implica algunos resultados sorprendentes, como la existencia de conjuntos no medibles dentro de la recta o del plano; que trae como consecuencia paradojas tan extrañas como la paradoja de Tarski-Banach, según la cual podemos descomponer una esfera maciza en una serie de ocho piezas de modo que al reconstruirla tengamos una esfera de tamaño doble de la anterior. De otro lado, la independencia de este axioma con otros axiomas de la teoría trae como consecuencia que, aunque tengamos un axioma que entre en contradicción con el Axioma de
elección, no conlleve una contracción posterior; por lo tanto, la demostración por el absurdo no es operatizable en este contexto.
El cuerpo humano en la edad adulta tiene aproximadamente 50 trillones de células vivas que cumplen funciones específicas dentro del organismo.
La Tierra vivió el día más corto de su historia el pasado 29 de junio, cuando el planeta giró de forma completa en 1.59 milisegundos menos de lo normal.
El concepto tiempo asocia a los tres componentes estructurales del universo: materia, movimiento y espacio.
Solo es necesario que una fracción del hielo antártico se derrita para causar estragos en el nivel geológico en nuestro planeta. Un incremento del nivel del mar que supere los dos metros de altura pondría en peligro a 770 millones de personas.
El androcentrismo es la palabra empleada para hacer referencia a la masculinización de lo cotidiano en las prácticas sociales, culturales y en el ámbito científico.
Que la energía cinética (antes llamada fuerza viva) representa el cambio del movimiento mecánico en otra forma de movimiento.
Si el país tuviera los medios para aprovechar sustentablemente su vegetación, podría cosechar el equivalente a 56 mil 126 millones de pesos.
En las siguientes líneas podrán leer sobre el olivo, una de las plantas más representativas que se mencionan en La Biblia. Su primera mención aparece durante el Génesis 8:11.
Leonard Euler aún de avanzada edad y ciego, continuó su producción a un ritmo acelerado; en 1770 publica otra de sus obras más sobresalientes Introducción al álgebra, pedagógicamente impecable.
Toda la matemática clásica, desde la época de los griegos, se construyó evitando considerar un infinito actual, aunque de manera subliminal siempre se ha usado. Aquí te explico.
Para reducir la acumulación del plástico, científicos de la Universidad de Singapur estudian al gusano Zophobas Atratus, reconocido por su capacidad de consumir y digerir este material.
¿Realmente son nocivas para el ecosistema? Un ambientalista dirá: “sí, porque desplazan especies nativas”. Sin embargo, ciertas necesidades se satisfacen mejor con especies exóticas que con nativas, por lo que es necesario asumir riesgos.
“Estamos ante la presencia del gobierno que intenta ver como accidentes, lo que más bien han sido tragedias provocadas por la ausencia de mantenimiento”, denunció Andrés Atayde, presidente del PAN.
Robot supuestamente harto de trabajar decidió terminar con su existencia
Los ejemplos más conocidos son los invernaderos, pero no son los únicos, existen también las casas sombra, los microtúneles, los túneles y otras estructuras utilizadas dependiendo del cultivo y la región climática.
La urgencia de un sindicalismo independiente en México
La niñez mexicana, entre la violencia y el abandono gubernamental
Abandonan a migrantes en la CDMX
Después de 4 años, concluyen parcialmente línea de Trolebús Chalco - Santa Martha
Tardará INE 10 días en conteo de votos de elección judicial
Putin decreta tregua de 72 horas con Ucrania por el “Día de la Victoria”
Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Colaborador