Cargando, por favor espere...
Cuando las limitaciones cognitivas y temporales propias de la especie humana no nos permiten verificar ciertas afirmaciones matemáticas, habitualmente recurrimos a nuestra intuición como una especie de proyección para llegar a lo inalcanzable, por lo tanto, recurrimos a la axiomatización. Cuando no entienden o no pueden cerciorarse bien, los matemáticos axiomatizan, con ello le dan una validez formal a sus afirmaciones, aunque éstas conlleven consecuencias a veces contraintuitivas, como el caso del llamado Axioma de elección, que habitualmente se usa en el trabajo matemático.
Ernst Zermelo (1871-1953) plantea, en 1904, el famoso Axioma de elección, en donde establece la existencia de un conjunto cuyos elementos son extraídos de un conjunto infinito, jugando un poco con la intuición humana. Esta idea ya se había utilizado por otros matemáticos, pero no se encontraba debidamente fundamentada. Ernst Zermelo fue criticado muy duramente por matemáticos de renombre como Lebesgue, Borel, Baire, Hadamad, quienes consideraban que tal función de elección debería ser construida o especificada. Con este Axioma, Ernst Zermelo demuestra que todo conjunto puede ser bien ordenado (entre ellos el conjunto de los números reales) aunque no se muestra cuál es ese orden. Los teoremas de existencia empezaron a ser cuestionados por la comunidad matemática.
Plantearemos la idea de este Axioma:
1.- Evidentemente, si tenemos un número finito de conjuntos diferentes del vacío, en cada conjunto es posible elegir un elemento; esta idea de elegir en cada conjunto diferente del vacío, técnicamente es llamada función de elección. Esta función permite construir un conjunto con los elementos elegidos que es llamado conjunto de elección.
2.- Lo que no es tan evidente es que podamos hacer lo descrito anteriormente si el número de conjuntos diferentes del vacío es infinito. Nuestra temporalidad humana no nos permite verificar que es posible elegir. Sin embargo, apelando a nuestra intuición humana, es plausible afirmar que sí es posible realizarlo y, por lo tanto, generar un conjunto de elección.
El paradigma del formalismo en donde estamos inmersos los matemáticos nos permite decretarlo a través de un axioma, denominado Axioma de elección.
En la práctica matemática, cuando escogemos un representante de una clase de equivalencia, lo hacemos con fundamento en el Axioma de elección. Con este axioma se prueban resultados importantes en la matemática, por ejemplo, que todo espacio vectorial tiene una base, todo conjunto es bien ordenado, los famosos teoremas de Hann – Banach, etc.
Si bien es cierto que la gran mayoría de matemáticos acepta este axioma, existe otro grupo de matemáticos que lo cuestiona, sobre todo los matemáticos de la escuela intuicionista, para quienes no basta decretar la existencia de un objeto matemático, sino que es indispensable construirlo, si no hay construcción, no hay existencia. El matemático formalista acepta este axioma sin mayor objeción, puesto que se permite inventar algún axioma, como regla de juego inicial, lo importante para el formalista es que no entre en contradicción con otros axiomas. En este sentido, la axiomática de Zermelo-Fraenkel es la más difundida para fundamentar casi toda la matemática (con base en la teoría de conjuntos); no entra en contradicción con el Axioma de elección. Este resultado fue probado con los trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen que demuestran que el Axioma de Elección es lógicamente independiente de los otros axiomas de la teoría axiomática de conjuntos.
La aceptación del Axioma de elección implica algunos resultados sorprendentes, como la existencia de conjuntos no medibles dentro de la recta o del plano; que trae como consecuencia paradojas tan extrañas como la paradoja de Tarski-Banach, según la cual podemos descomponer una esfera maciza en una serie de ocho piezas de modo que al reconstruirla tengamos una esfera de tamaño doble de la anterior. De otro lado, la independencia de este axioma con otros axiomas de la teoría trae como consecuencia que, aunque tengamos un axioma que entre en contradicción con el Axioma de
elección, no conlleve una contracción posterior; por lo tanto, la demostración por el absurdo no es operatizable en este contexto.
El resto de glaciares mexicanos desaparecerán en las próximas décadas si no se toma acciones para frenarlo, aseguraron los especialistas.
Queda claro que AMLO tiene un desconocimiento abismal acerca de la relación entre la ciencia y la política.
El fenómeno astronómico tendrá lugar la noche del día de hoy jueves 13 de marzo alrededor de las 23:00 horas, alcanzando su máximo a las 00:26 horas del viernes 14.
El cero, concebido como ausencia de cantidad, no existía en el mundo griego, puesto que no creían en el no ser; su presencia se vino a establecer muy paulatinamente.
Los daños causados al planeta comienzan a pasarnos factura. Las tasas de deforestación han afectado gravemente las distintas funciones de los bosques, además, su papel como regulador del clima está siendo severamente afectado.
¿Cómo es que estos genes pasaban de los padres a los hijos?
Los mapas son representaciones gráficas de la superficie terrestre.
La Nochebuena era una flor predilecta para los aztecas, zapotecas, zoques, chontales y totonacas.
El matemático sintió mucha inclinación por las humanidades y los idiomas, aprendió latín, griego, alemán, italiano y francés. Además, estudió por su cuenta y nunca obtuvo un título académico, aún así, fue reconocido a lo largo de su vida.
El mundo generó más electricidad a partir de combustibles fósiles en 2020 que en 2015, año en que 190 países firmaron el Acuerdo de París y se comprometieron a reducir la emisión de gases de efecto invernadero.
(El retorno del gusano barrenador: responsabilidades y la batalla para erradicarlo)
El profesor Sullivan “es de los pocos matemáticos que, dentro de su mente, es capaz de ver mundos que son solo series de símbolos. Tiene una imagen mental de objetos mucho más abstractos que los objetos geométricos más cotidianos”.
La cerveza se utilizaba como ofrenda a los dioses en casi todas las culturas de Europa, el Medio Oriente y Asia. En los países nórdicos (Dinamarca, Finlandia, Islandia, Noruega y Suecia) se ofrecía cerveza a Odín.
La fascinación por el reino vegetal siempre ha despertado el interés de diferentes personas.
Apolonio de Perga, llamado "El Gran Geómetra", es uno de los tres grandes matemáticos de la antigüedad, mérito que comparte con Euclides y Arquímedes.
Cae red criminal de huachicol, expone fracaso de la 4T
China presenta a su nuevo embajador en México
En México 40 millones de personas carecen de trabajo digno
Se reinventa la ultraderecha y gana poder global
Claman por ayuda afectados de Oaxaca y Guerrero tras huracán Erick
¡De antro! Así fue captado César Duarte
Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Colaborador