Cargando, por favor espere...
Cuando las limitaciones cognitivas y temporales propias de la especie humana no nos permiten verificar ciertas afirmaciones matemáticas, habitualmente recurrimos a nuestra intuición como una especie de proyección para llegar a lo inalcanzable, por lo tanto, recurrimos a la axiomatización. Cuando no entienden o no pueden cerciorarse bien, los matemáticos axiomatizan, con ello le dan una validez formal a sus afirmaciones, aunque éstas conlleven consecuencias a veces contraintuitivas, como el caso del llamado Axioma de elección, que habitualmente se usa en el trabajo matemático.
Ernst Zermelo (1871-1953) plantea, en 1904, el famoso Axioma de elección, en donde establece la existencia de un conjunto cuyos elementos son extraídos de un conjunto infinito, jugando un poco con la intuición humana. Esta idea ya se había utilizado por otros matemáticos, pero no se encontraba debidamente fundamentada. Ernst Zermelo fue criticado muy duramente por matemáticos de renombre como Lebesgue, Borel, Baire, Hadamad, quienes consideraban que tal función de elección debería ser construida o especificada. Con este Axioma, Ernst Zermelo demuestra que todo conjunto puede ser bien ordenado (entre ellos el conjunto de los números reales) aunque no se muestra cuál es ese orden. Los teoremas de existencia empezaron a ser cuestionados por la comunidad matemática.
Plantearemos la idea de este Axioma:
1.- Evidentemente, si tenemos un número finito de conjuntos diferentes del vacío, en cada conjunto es posible elegir un elemento; esta idea de elegir en cada conjunto diferente del vacío, técnicamente es llamada función de elección. Esta función permite construir un conjunto con los elementos elegidos que es llamado conjunto de elección.
2.- Lo que no es tan evidente es que podamos hacer lo descrito anteriormente si el número de conjuntos diferentes del vacío es infinito. Nuestra temporalidad humana no nos permite verificar que es posible elegir. Sin embargo, apelando a nuestra intuición humana, es plausible afirmar que sí es posible realizarlo y, por lo tanto, generar un conjunto de elección.
El paradigma del formalismo en donde estamos inmersos los matemáticos nos permite decretarlo a través de un axioma, denominado Axioma de elección.
En la práctica matemática, cuando escogemos un representante de una clase de equivalencia, lo hacemos con fundamento en el Axioma de elección. Con este axioma se prueban resultados importantes en la matemática, por ejemplo, que todo espacio vectorial tiene una base, todo conjunto es bien ordenado, los famosos teoremas de Hann – Banach, etc.
Si bien es cierto que la gran mayoría de matemáticos acepta este axioma, existe otro grupo de matemáticos que lo cuestiona, sobre todo los matemáticos de la escuela intuicionista, para quienes no basta decretar la existencia de un objeto matemático, sino que es indispensable construirlo, si no hay construcción, no hay existencia. El matemático formalista acepta este axioma sin mayor objeción, puesto que se permite inventar algún axioma, como regla de juego inicial, lo importante para el formalista es que no entre en contradicción con otros axiomas. En este sentido, la axiomática de Zermelo-Fraenkel es la más difundida para fundamentar casi toda la matemática (con base en la teoría de conjuntos); no entra en contradicción con el Axioma de elección. Este resultado fue probado con los trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen que demuestran que el Axioma de Elección es lógicamente independiente de los otros axiomas de la teoría axiomática de conjuntos.
La aceptación del Axioma de elección implica algunos resultados sorprendentes, como la existencia de conjuntos no medibles dentro de la recta o del plano; que trae como consecuencia paradojas tan extrañas como la paradoja de Tarski-Banach, según la cual podemos descomponer una esfera maciza en una serie de ocho piezas de modo que al reconstruirla tengamos una esfera de tamaño doble de la anterior. De otro lado, la independencia de este axioma con otros axiomas de la teoría trae como consecuencia que, aunque tengamos un axioma que entre en contradicción con el Axioma de
elección, no conlleve una contracción posterior; por lo tanto, la demostración por el absurdo no es operatizable en este contexto.
Un sistema puede definirse como un conjunto de elementos o variables que interactúan de manera coherente. Estos elementos pueden ser de tipo económico, técnico, social o ecológico, y forman parte de una estructura compleja.
Mientras el trabajo matemático tiene reglas, axiomas, y su libertad está en función de estar gobernado por sistemas formales; en el trabajo filosófico...
Desde el inicio de la cuarta revolución matemática, en las primeras décadas del Siglo XX, el formalismo hilbertiano ha caracterizado el trabajo matemático hasta el día de hoy. Este paradigma histórico del formalismo se caracteriza por...
Aunque amado por unos y odiado por otros, el huitlacoche tiene un papel relevante en la economía, gastronomía y en la ciencia.
La variante ómicron del coronavirus ya se ha detectado en más de 40 países desde que fuera identificada por primera vez en Sudáfrica a finales de noviembre pasado.
Así fue como nacieron las nuevas geometrías, que describen con más exactitud el universo donde vivimos, sin omitir y rechazar a la geometría euclidiana.
A bordo del cohete Centaur, de la empresa United Launch Alliance (ULA), viajan cinco robots diseñados por la UNAM, mismos que podrán desplazarse de manera autónoma por el suelo de la luna.
volviendo al ejemplo del futbol, las vacunas son el equivalente a jugar un partido amistoso a principio de temporada, solo nos preparan para los posibles escenarios de una “competencia real”.
El mundo cambia, la gran honda cósmica se mueve con base en leyes, no en plegarias.
Los problemas personales no afectaron su brillante carrera académica; su jornada incluía largas horas de concentración.
No dormir provoca que el cerebro elimine una cantidad significativa de neuronas, así como una perdida significativa de conexiones sinápticas; lo peor, la recuperación del sueño sería incapaz de revertir el daño.
La realidad es más compleja de lo que la ciencia sabe de ella y nos damos cuenta.
La Secretaría de Salud ya “estudia a los contactos del caso y se atiende al paciente. El diagnóstico aún no es definitivo".
Einstein hizo lo mismo con la estructura del universo donde habitamos, al demostrar que es también un espacio curvo.
La bacteria P. luminiscens actuó sobre las heridas de los soldados como un como un antibiótico muy eficaz, lo que explica por qué las heridas fluorescentes sanaban más rápido que las heridas sin la bacteria fluorescente. Seguramente, esta bacteria salvó la vida de varios soldados, ¿cómo pasó?
¡No andaba muerto, estaba en reunión! Ricardo Ordóñez recibe atención en Veracruz
Movimientos populares rechazan retiro de estatuas de Fidel y el Che en CDMX
Por juegos de azar, detienen a banda de estafadores que operaba en Iztapalapa
Difunden video de presuntos homicidas de colaboradores de Clara Brugada
Cada hora roban seis autos asegurados en México
Presencia de sargazo en Quintana Roo rompe récords históricos
Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Colaborador