Todo conocimiento humano se complejiza a través de su tiempo de evolución. Probablemente el constructo humano donde esa complejidad crece exponencialmente es la matemática. Es por ello que se observan dificultades de entendimiento desde los niveles más básicos. Los procesos de abstracción propios de la matemática se empiezan a ver desde su génesis, desde la invención de los primeros números, las primeras formas geométricas y el primer sistema formal hace dos mil 300 años por los griegos. La concepción pitagórica de que “todo es número” hace dos mil 600 años, aún marcado de misticismo, produce uno de los primeros pensamientos filosóficos de la historia.

Para dar un breve análisis de está complejidad, miremos las etapas epistémicas de la matemática: matemáticas elementales, matemáticas clásicas, matemáticas modernas, matemática contemporánea.

Consideramos matemáticas elementales desde la invención del primer sistema formal (Siglo III a.C.) hasta el Siglo XVII. En esta etapa se fundamentan la geometría euclidiana, la aritmética, la trigonometría y el álgebra escolar con base en los 13 volúmenes de los Elementos de Euclides. Es una etapa de extremada complejidad, porque existía un sistema de numeración y notaciones simbólicas engorrosas. A su vez, se carecía de métodos simples para resolver ciertas ecuaciones. Además, privilegiar el uso de la regla y el compás en una geometría estática, que no daba cuenta de la dinámica existente en la naturaleza, trajo como consecuencia dificultades de cálculo y un retraso para explorar nuevos métodos.

La superación de estas limitantes epistémicas ocurrió en el Siglo XVII. Bajo la influencia del racionalismo filosófico se generó una matemática más dinámica, que dio cuenta de los fenómenos naturales; se inventó el cálculo diferencial e integral, herramienta fundamental para abordar problemas dinámicos; nacieron nuevas áreas matemáticas, como el cálculo variacional, las ecuaciones diferenciales, la geometría diferencial, etc. Aunque en esta etapa se seguía usando los Elementos de Euclides, la concepción epistémica cambió, complejizando aún más el conocimiento matemático. Esta matemática es llamada clásica.

Los nuevos métodos matemáticos se agotaron, algunos problemas de la antigüedad seguían sin resolverse, fue necesario, a principios del Siglo XIX, inventar nuevas formas, más abstractas aún, nuevos métodos que permitieran resolver los problemas históricos pendientes: duplicación del cubo, trisección de ángulos, cuadratura del círculo, fundamentar las nuevas geometrías no euclidianas, etc. Nacieron nuevos mundos geométricos y las álgebras abstractas; empezó la aritmitización del cálculo y las bases para los nuevos fundamentos de la matemática, acercándonos al rigor de que hoy goza la matemática. La complejización del conocimiento matemático subió de nivel como nunca antes. Esta matemática es llamada moderna.

La matemática contemporánea nace con el formalismo y el estructuralismo de David Hilbert, un cambio epistémico revolucionario que abrió el pensamiento matemático a una posibilidad de libertad matemática (siempre dentro de un sistema formal). Bajo este nuevo paradigma, la expansión del conocimiento matemático ha sido universal y su grado de complejidad ha rebasado lo humanamente posible; actualmente no existe matemático que pueda tener alguna idea de todo el desarrollo matemático en su globalidad, la tendencia influenciada por la posmodernidad es a la ultra especialización, que tiene sus consecuencias, pero que actualmente no se percibe por falta de una filosofía de la matemática contemporánea.

Albert Lautman (1908-1944) establece algunos rasgos específicos de la matemática contemporánea que dan cuenta de la extrema complejidad que actualmente tiene: 1) compleja jerarquización de las diversas teorías matemáticas irreducibles entre sí relativamente a sistemas intermedios de deducción, 2) riqueza de modelos teóricos irreducible a meras manipulaciones lingüísticas, 3) unidad de métodos estructurales y de polaridades conceptuales detrás de la multiplicidad efectiva, 4) dinámica del hacer matemático contrastando entre lo libre y lo saturado, atento a la división y a la dialéctica, 5) enlace teoremático de lo que es múltiple en un nivel con lo que es uno en otro nivel, por medio de mixtos, ascensos y descensos.

A mi juicio, en esta unidad radica la belleza de la mente humana y por tanto de la matemática, para percibirlo hay que penetrar en lo profundo de las ideas matemáticas, ver sus conexiones, sus posibilidades de expansión e interpretación, como un ser viviente, pues a fin de cuentas toda esta ficción se encuentra en nuestro cerebro.