El método axiomático en la geometría es quizás el aporte más notable que ha dado la matemática a la humanidad. No existe conocimiento humano preciso, riguroso, cercano a la verdad, que no tenga al menos un pequeño sistema axiomático en su interior. La matematización de la mayoría de las disciplinas humanas es una característica esencial de nuestra época. Sus raíces vienen desde la antigua Grecia, con Aristóteles (384–321 a.C.), quien decía: “Toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables; de otro modo, los pasos de la demostración serían infinitos. De estos principios indemostrables algunos son (a) comunes a todas las ciencias, otros son (b) particulares o peculiares a una ciencia particular; (c) los principios comunes son los axiomas, generalmente ejemplificados por el axioma de que, si se sustraen cantidades iguales, los restos son iguales. En (b) tenemos, primero, el género o materia tratada, cuya existencia hay que suponer”.

La sistematización de esta idea de Aristóteles, se plasmó en los Elementos, de Euclides, escritos en 300 a.C. En esta obra de 13 volúmenes se establecen nociones comunes y postulados, también una colección de definiciones (que intentaban precisar conceptos iniciales) y 465 proposiciones, con sus respectivas demostraciones lógicas. 

Los Elementos, de Euclides, resultó ser la obra matemática más importante hasta el Siglo XIX, en ella se sustentaban las grandes teorías matemáticas y físicas, sin ninguna discusión de fondo sobre la naturaleza de esta geometría, aún de la suspicacia que causaba el V postulado de esta obra. Fue la invención de las geometrías no euclidianas la que abrió la discusión matemática-filosófica de la validez de la geometría de Euclides, como un intento de describir el espacio físico en que vivimos, según el influyente filósofo alemán Emanuel Kant (1724-1804), la geometría es un conocimiento a priori, que da cuenta de las características esenciales del espacio físico. Jamás imaginó otra geometría que no sea la de Euclides.

El V postulado de Euclides dice: Si una recta que corta a otras rectas forma los ángulos internos de un mismo lado menos que dos rectos, las dos rectas, si se prologan indefinidamente, se cortan por el mismo lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. 

Este postulado, visto como necesidad lógica y no geométrica, abrió un campo de investigación inesperado y sorprendente; independiente de la intuición humana, nace una nueva forma de ver los axiomas o postulados propuestos por Aristóteles y Euclides. Con esta nueva epistemología se dio validez a estas nuevas geometrías que nacieron simplemente negando este V postulado e intentaron demostrarlo por reducción al absurdo. Al no conseguir demostrar el V postulado para pasarlo a Teorema, se generó la idea de constituir un nuevo sistema formal, que tenga la misma validez que la geometría euclidiana. Estas nuevas geometrías creadas se empezaron a llamar geometrías no euclidianas, primero, con mucho escepticismo, rechazo, pero ante la evidencia no solamente lógica, sino también en lo real en el espacio-tiempo, los matemáticos lo fueron aceptando.

Para la aceptación de estos nuevos mundos geométricos, el aporte de David Hilbert fue fundamental; la idea de inventar axiomas (no necesariamente evidentes intuitivamente) consistentes, sin contradicción entre ellos, fue la base fundamental para entender esta nueva forma de ver a la matemática en general. Esta nueva forma de ver la axiomática generó un conjunto de sistemas formales que definen la matemática de hoy día. De hecho, el mismo David Hilbert reformuló los Elementos, de Euclides, y escribió su propio sistema axiomático para esta geometría, publicando en 1899 su famoso libro titulado Fundamentos de la Geometría; inventó una nueva axiomática, corrigió los errores conceptuales de Euclides, fundamentó la continuidad de los objetos geométricos, e incluyó todas las geometrías que se puedan inventar. Esta nueva visión fue revolucionaria, se dio un salto cualitativo sin precedentes en la historia de la matemática.

Es importante mencionar que esta obra fue el inicio del formalismo como cuarta revolución matemática que potenció el desarrollo matemático hasta nuestros días. La matemática empezó a evolucionar sistémicamente, generando espacios abstractos y que fueron conectándose con áreas aparentemente sin relación, ampliando su riqueza conceptual.