El conjunto vacío es aquel objeto matemático que carece de elementos, es decir, que no hay nada en su interior. ¿Existirá algún objeto así? En matemática hemos garantizando su existencia decretándolo a través del axioma del conjunto vacío, que dice: “Existe un conjunto que no posee elementos”. Esta forma de garantizar la existencia de objetos matemáticos básicos, decretándolo, es aceptado actualmente por todos los matemáticos. Sin embargo, desde el punto de vista filosófico es un problema muy antiguo y no garantiza la existencia de tal objeto.

El filósofo griego Parménides (540 a.C. - 470 a.C.) fue el primero en usar el pensamiento lógico deductivo para establecer la verdadera naturaleza del mundo. Fue el primero en establecer la premisa de que algo es o existe (o lo que él llamaba el ser) y que no puede existir simultáneamente con el no es o no ser. Sería una evidente contradicción lógica. Además, afirma que el ser no puede proceder de la nada o del vacío. El ser debe haber existido siempre, y no puede cambiar, puesto que un ser que es permanente no se puede transformar en otra cosa sin dejar de ser permanente. Por lo tanto, todo lo que existe es eterno e inmutable. Estas ideas de Parménides fueron tomadas por Platón para establecer su teoría de las ideas. Para Platón los objetos matemáticos es el ser eterno e inmutable al que se refiere Parménides. Por ejemplo, un triángulo es un “ser” eterno, e inmutable.

En matemática sólo tiene sentido inventar o construir objetos que tengan propiedades o características que lo diferencien de otros objetos. Cualquier objeto matemático que se invente, debe de poseer elementos que lo caractericen, que pueda ser factible establecer subobjetos y que puedan descubrirse sus propiedades específicas. Es la ontología básica de cualquier objeto matemático. Por ejemplo, cuando inventamos el triángulo (como la unión de tres segmentos) es susceptible de establecer asociado al triángulo, su altura, su mediana, su bisectriz, etc., para luego proceder a descubrir las propiedades geométricas de estos subobjetos del triángulo. Los objetos matemáticos se conectan con otros objetos, mediante otros objetos matemáticos, por ejemplo, los triángulos se pueden conectar con otros triángulos mediante las isometrías. 

Cuando se establece un objeto sin elementos, no es posible obtener subobjetos, ni mucho menos establecer propiedades, es decir, el conjunto vacío no cumple la ontología básica para ser llamado un objeto matemático. Aún más, el conjunto vacío cumple cualquier propiedad ( , con el solo hecho de partir de una premisa falsa, se establece esta afirmación. Es decir, no posee alguna propiedad específica, contradiciendo la ontología básica de cualquier objeto matemático.

Si no existe el conjunto vacío como objeto matemático ¿por qué lo decretamos mediante un axioma? Existe otra forma, decretando la “existencia del conjunto infinito”, con este axioma es posible probar que existe un único conjunto que no posee elementos –que podemos llamar “conjunto vacio”–. Pasamos de dejar de inventar un conjunto sin elementos a inventar un conjunto con infinitos elementos (cognitivamente inaccesible para cualquier ser humano). Es un problema profundo, que hemos sido incapaces de dilucidar.

Es importante mencionar que las razones que se arguyen por parte de profesores y matemáticos, sobre la existencia del conjunto vacío, por necesidad y/o por “convención”, es pedagógicamente aceptable, pero filosóficamente no es aceptable, y desde el punto vista racional tampoco. Lo cierto es que hasta el día de hoy el conjunto vació se utiliza para hacer compatible la teoría matemática, con la teoría de conjuntos. En el trabajo matemático, la invención o construcción de algún objeto matemática o estructura se le excluye (se habla siempre de un conjunto diferente del vacío) o cuando es conveniente se le utiliza, por ejemplo, para construir el “cero”, que es otro problema filosófico interesante, más allá del formalismo matemático. Todo esto no explica, la razón de su existencia como objeto matemático.

En la literatura de la filosofía de la matemática no se toca el tema o se hace de manera muy tangencial, este tema se tratará con mayor profundidad en un artículo que enviaremos a la Revista Theorem.