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La cuadratura de una figura geométrica consiste en encontrar exactamente su área en un cuadrado. Por ejemplo, en la Grecia antigua, usando solamente regla (no graduada) y compás se buscó incansablemente cuadrar un círculo dado. El problema se resolvió muchos siglos después, en 1882, con el matemático alemán Ferdinand Lindemann, quien al demostrar que π era un número trascendente, dejó de manifiesto que la cuadratura del círculo por medio de regla y compás, era imposible. De manera similar, para la “cubatura” de una esfera, se busca que un cubo tenga el mismo volumen que la esfera. Ambos términos fueron usados por Cavalieri y Kepler, matemáticos de principios del Siglo XVII, para calcular áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos geométricos. Con la ayuda de los métodos por agotamiento y reducción al absurdo, proporcionados, respectivamente, por Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa, y al incorporar cortes transversales y circulares a sus investigaciones, Kepler y Cavalieri generalizaron y simplificaron el cálculo de áreas de figuras planas como círculos y parábolas y volumen de sólidos como prismas, pirámides, esferas, cilindros y conos. Kepler, por ejemplo, desarrolló la teoría infinitesimal al calcular la cantidad de litros que contenía un barril de vino que le habían vendido para su nuptiae secundae. No estando de acuerdo con el mercader por el método usado por éste para medir el volumen del vino contenido en el barril, él mismo proporcionó un método para volúmenes de diferentes cuerpos de revolución. El volumen de más de 90 sólidos calculados por el astrónomo alemán pueden estudiarse en su obra Nova Stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría sólida de los barriles de vino).
Por su parte, en su obra Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Geometría de los continuos por indivisibles presentada por nuevos métodos), Cavalieri expone magistralmente su método de los indivisibles para calcular volúmenes de diferentes cuerpos geométricos: “Si dos sólidos tienen las alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases a la misma distancia de la base están en una determinada proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción”. Cavalieri considera las figuras planas como un conjunto infinito de segmentos de rectas paralelas y a los sólidos como un conjunto infinito de figuras planas paralelas. Estas dos consideraciones junto con el método infinitesimal hicieron posible el cálculo de volúmenes de prismas, pirámides, esferas, cilindros y conos.
A manera de ejemplo, consideremos el volumen de un prisma rectangular recto (V.P.) conocido. Recordemos que la fórmula para calcular su volumen es: área de la base por su altura (AxH), que se usa como medida para calcular el área de otros cuerpos geométricos como el de un cilindro oblícuo (V.C.), de base circular. Ambos cuerpos se colocan uno frente al otro, sus respectivas bases puestas en el mismo plano, con alturas iguales y cumplen la condición de que los planos paralelos, a la base, colocados a la misma distancia de la base tienen una determinada proporción, entonces el volumen del cilindro es calculado. En efecto, (V.P.)/(V.C.)=(AxH)/(V.C.)=A/πr^2, despejando V.C. de la última igualdad se encuentra que V.C.= π
r^2H, el cual es el volumen del cilindro. De forma similar se puede calcular el volumen de cualquier prisma, pirámide triangular, cono circular, esfera, etc., (para más detalle consúltese el artículo: los indivisibles de Cavalieri: una perspectiva plausible para el aprendizaje del cálculo de volúmenes, del doctor investigador del Cinvestav Gonzalo Zubieta Badillo).
El matemático italiano publicó 10 libros de matemáticas. Sin embargo, las obras que más influyeron fueron la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota y Seis ejercicios geométricos, publicadas, respectivamente, en 1635 y 1647. La mayor parte de los trabajos escritos por Cavalieri trata sobre los problemas de cuadraturas y cubaturas.
Al igual que Euclides de Alejandría, aunque no proporciona definición alguna, Cavalieri considera a los puntos como los indivisibles de las líneas, las líneas como los indivisibles de las figuras planas, y las secciones planas como los indivisibles de los sólidos. Estos elementos constituyentes de las figuras planas y sólidos fueron fundamentales para que Cavalieri comparara y dedujera de áreas y volúmenes conocidos, área y volumen de nuevos cuerpos geométricos.
Sirva de ejemplo la vida de Bonaventura Francesco Cavalieri para que los jóvenes mexicanos decidan estudiar matemáticas y comprendan que es útil en la resolución de problemas reales.
A pesar del indiscutible rol que juegan los bosques, cada año disminuye su superficie debido al cambio de uso de suelo, tala clandestina e incendios forestales. De 2000 a 2018 se perdieron 13 mil 777 hectáreas.
La geometría no es una forma de la intuición a priori, como afirmaba Kant, sino una construcción lógica. Estos argumentos fueron la base de la famosa escuela llamada "positivismo lógico".
Su domesticación ha traído casi cien variedades de esta especie, dentro de las que se pueden encontrar plantas con las típicas hojas color verde y escarlata.
Hay registro de que del norte del país se hacían envíos periódicos de hatos a Puebla, CDMX y la zona de los volcanes. Sin embargo, la ganadería no prosperó debido a que la actividad principal en el centro del país era agrícola.
Desde el punto de vista filosófico, D’Álembert era partidario de la unidad del saber, proponía el progreso de la humanidad a través del desarrollo de la ciencia, unificadas por una filosofía desprendida de los mitos y creencias transcendentales.
Aunque la pérdida de cola en los humanos ha sido objeto de diferentes teorías evolutivas, hasta hace unos días era un misterio sin resolver.
Sirvan estos dos ejemplos para que los estudiantes mexicanos despierten su interés por el desarrollo histórico de las fórmulas matemáticas.
Los bosques de oyamel (familia Pinaceae) constituyen un ecosistema que se desarrolla a una altitud de entre dos mil y tres mil 600 metros sobre el nivel del mar y se pueden encontrar en las zonas montañosas de México.
En las siguientes líneas podrán leer sobre el olivo, una de las plantas más representativas que se mencionan en La Biblia. Su primera mención aparece durante el Génesis 8:11.
La vida de Henrik fue marcada por la pobreza, la fatalidad y la incomprensión; aun así, su mentalidad matemática, lo llevó a mostrar su genialidad, con ideas originales, mostrando caminos nuevos a los matemáticos de su época.
Evariste Galois fue uno de los grandes genios de la humanidad y el matemático más joven de la historia matemática.
Este fenómeno se encuentra en el movimiento de los mares, en los chorros que salen de un grifo con suficiente velocidad.
Las siete mil 700 millones de personas que hay en la Tierra, aunado al actual modelo de vida consumista y desenfrenado, aceleran las condiciones de cambio climático que estamos enfrentando, como el calor y el frío.
En la Edad Media se sospechaba que la peste negra era originada por algún agente que entraba en un cuerpo y se trasmitía a otras personas.
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Escrito por Romeo Pérez
Doctor en Física y Matemáticas por la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Lomonosov, de Moscú, Rusia.