Cargando, por favor espere...

El método de indivisibles de Cavalieri
¿Es posible encontrar la cuadratura de una figura geométrica? la respuesta en este texto. La cuadratura de una figura geométrica consiste en encontrar exactamente su área en un cuadrado.
Cargando...

La cuadratura de una figura geométrica consiste en encontrar exactamente su área en un cuadrado. Por ejemplo, en la Grecia antigua, usando solamente regla (no graduada) y compás se buscó incansablemente cuadrar un círculo dado. El problema se resolvió muchos siglos después, en 1882, con el matemático alemán Ferdinand Lindemann, quien al demostrar que π era un número trascendente, dejó de manifiesto que la cuadratura del círculo por medio de regla y compás, era imposible. De manera similar, para la “cubatura” de una esfera, se busca que un cubo tenga el mismo volumen que la esfera. Ambos términos fueron usados por Cavalieri y Kepler, matemáticos de principios del Siglo XVII, para calcular áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos geométricos. Con la ayuda de los métodos por agotamiento y reducción al absurdo, proporcionados, respectivamente, por Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa, y al incorporar cortes transversales y circulares a sus investigaciones, Kepler y Cavalieri generalizaron y simplificaron el cálculo de áreas de figuras planas como círculos y parábolas y volumen de sólidos como prismas, pirámides, esferas, cilindros y conos. Kepler, por ejemplo, desarrolló la teoría infinitesimal al calcular la cantidad de litros que contenía un barril de vino que le habían vendido para su nuptiae secundae. No estando de acuerdo con el mercader por el método usado por éste para medir el volumen del vino contenido en el barril, él mismo proporcionó un método para volúmenes de diferentes cuerpos de revolución. El volumen de más de 90 sólidos calculados por el astrónomo alemán pueden estudiarse en su obra Nova Stereometria doliorum vinariorum (Nueva geometría sólida de los barriles de vino).

Por su parte, en su obra Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Geometría de los continuos por indivisibles presentada por nuevos métodos), Cavalieri expone magistralmente su método de los indivisibles para calcular volúmenes de diferentes cuerpos geométricos: “Si dos sólidos tienen las alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases a la misma distancia de la base están en una determinada proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción”. Cavalieri considera las figuras planas como un conjunto infinito de segmentos de rectas paralelas y a los sólidos como un conjunto infinito de figuras planas paralelas. Estas dos consideraciones junto con el método infinitesimal hicieron posible el cálculo de volúmenes de prismas, pirámides, esferas, cilindros y conos.

A manera de ejemplo, consideremos el volumen de un prisma rectangular recto (V.P.) conocido. Recordemos que la fórmula para calcular su volumen es: área de la base por su altura (AxH), que se usa como medida para calcular el área de otros cuerpos geométricos como el de un cilindro oblícuo (V.C.), de base circular. Ambos cuerpos se colocan uno frente al otro, sus respectivas bases puestas en el mismo plano, con alturas iguales y cumplen la condición de que los planos paralelos, a la base, colocados a la misma distancia de la base tienen una determinada proporción, entonces el volumen del cilindro es calculado. En efecto, (V.P.)/(V.C.)=(AxH)/(V.C.)=A/πr^2, despejando V.C. de la última igualdad se encuentra que V.C.= πr^2H, el cual es el volumen del cilindro. De forma similar se puede calcular el volumen de cualquier prisma, pirámide triangular, cono circular, esfera, etc., (para más detalle consúltese el artículo: los indivisibles de Cavalieri: una perspectiva plausible para el aprendizaje del cálculo de volúmenes, del doctor investigador del Cinvestav Gonzalo Zubieta Badillo).

El matemático italiano publicó 10 libros de matemáticas. Sin embargo, las obras que más influyeron fueron la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota y Seis ejercicios geométricos, publicadas, respectivamente, en 1635 y 1647. La mayor parte de los trabajos escritos por Cavalieri trata sobre los problemas de cuadraturas y cubaturas.

Al igual que Euclides de Alejandría, aunque no proporciona definición alguna, Cavalieri considera a los puntos como los indivisibles de las líneas, las líneas como los indivisibles de las figuras planas, y las secciones planas como los indivisibles de los sólidos. Estos elementos constituyentes de las figuras planas y sólidos fueron fundamentales para que Cavalieri comparara y dedujera de áreas y volúmenes conocidos, área y volumen de nuevos cuerpos geométricos.

 

 


Escrito por Romeo Pérez Ortiz

Doctor en Fisica y Matematicas por la Universidad Estatal de Lomonosov de Moscu, Rusia


Notas relacionadas

Toda investigación no es necesariamente científica, a veces se confunde con investigación tecnológica, o peor, con informes técnicos. Aclararemos estas confusiones en este artículo.

El maestro de hoy, no todos desde luego, pero sí la mayoría, ya no enseña a su alumno a razonar y analizar.

El Eclipse total de Sol tendrá una duración de 4 minutos y 28 segundos

Dos especies vegetales que no corren con la misma suerte cuando llegan las festividades navideñas.

“La extinción de especies es uno de los grandes problemas ambientales y, junto con el cambio climático y un holocausto nuclear, podrían colapsar la civilización”, planteó el ecólogo mexicano Gerardo Ceballos.

La tecnología hace posible que las ventas en línea lleguen a más personas, sin importar donde se encuentren; por lo que cada vez más usuarios de la red realizan compras a través de internet.

La reducción de la mariposa monarca en bosques mexicanos, las cuales ocuparon 2.10 hectáreas de terreno -en el primer trimestre del 2021-, respecto a las 2.83 hectáreas registradas en 2019.

El androcentrismo es la palabra empleada para hacer referencia a la masculinización de lo cotidiano en las prácticas sociales, culturales y en el ámbito científico.

Svante Pääbo logró secuenciar el ADN de los neandertales, la especie de homínido más emparentada con los seres humanos actuales, y que se extinguió hace 30 mil años.

Las siete mil 700 millones de personas que hay en la Tierra, aunado al actual modelo de vida consumista y desenfrenado, aceleran las condiciones de cambio climático que estamos enfrentando, como el calor y el frío.

Entre los hallazgos se identificaron decenas de moluscos, tres peces y un camarón, además de una enigmática criatura que desconcertó a los científicos.

El impacto social de los Beatles ha sido sumamente importante; en materia musical y de producción de sonido desataron una auténtica revolución, y ahora la inteligencia artificial nos acerca a lo que pudo haber sido.

Los problemas personales no afectaron su brillante carrera académica; su jornada incluía largas horas de concentración.

Para describir el comportamiento de los fenómenos físicos, biológicos, químicos, sociales o económicos, el hombre recurre, en la mayoría de los casos, a modelos matemáticos para ayudarse a resolver dos tipos de problemas.

Con todos los avances y beneficios que la IA ha aportado a la ciencia, también surgen desafíos y preocupaciones; ahora hay preguntas sobre el papel del científico en este nuevo panorama.

Edición impresa

Editorial

Una “democrática” reforma judicial


La reforma judicial beneficiará en 2025 al partido en el poder, a Morena, al Poder Ejecutivo encabezado por Claudia Sheinbaum.

Síguenos en Facebook


Poesía

Sociedad anónima

Sociedad anónima 1142