Cargando, por favor espere...

Sobre la paradoja de Banach-Tarski
Una consecuencia sorprendente del resultado BanachTarski, es demostrar que se puede particionar una bola del tamaño de la tierra, reordenar esta partición y obtener una bola del tamaño del sol.
Cargando...

En matemática, tenemos que enfrentar lo infinito desde la finitud humana; en el idealismo se concibe como el límite asintótico de la intuición humana. Sin embargo, desde el formalismo matemático, simplemente se establecen axiomas que no entren en contradicción con el sistema formal. Esta característica de la matemática contemporánea no está exenta de críticas y reflexiones filosóficas, incluso desde el intuicionismo se niegan a usar axiomas que establezcan existencias, y no construcciones concretas de los objetos matemáticos.

Aceptar el axioma de elección (tratado en un artículo anterior) en donde se establece la existencia de un conjunto formado por elementos de conjuntos no vacíos, nuestra finitud humana no hace posible la verificación de esta operación mental de extraer algún elemento de una infinidad de conjuntos no vacíos, aunque formalmente sí lo podamos establecer si lo decretamos mediante un axioma. Una de las consecuencias que trae la aceptación de este axioma es denominado la Paradoja de Banach–Tarski, aunque sea un teorema rigurosamente demostrado en 1924 por los célebres matemáticos polacos Stefan Banach y Alfred Tarski. Lo paradójico de este resultado en un espacio tridimensional, una esfera de radio 1 puede ser particionada en ocho partes para luego recomponer cinco de estas partes en una esfera de radio 1 y las tres partes restantes en otra esfera también de radio 1. Este resultado parece un acto de magia, cómo una esfera de radio 1 se transforma en dos esferas de radio uno. Aún más, en cada una de estas dos esferas de radio 1 se puede seguir aplicando el mismo resultado de Banach-Tarski, y volver a particionar cada esfera y obtener dos esferas de radio uno, en total serían cuatro esferas de radio 1, y así sucesivamente. En concreto, es posible transformar una esfera de radio 1 en un número infinito de esferas de radio 1.

La mayoría de las veces hacemos isovalentes objetos reales como una esfera maciza de radio 1, con objetos matemáticos como la esfera de radio 1. Los objetos matemáticos no existen en la realidad fáctica, un objeto matemático es una ficción, solo existe en la mente humana; uno de aquellos objetos tiene medida nula (definible matemáticamente) que no existe en la realidad física pero cuya existencia aceptamos desde el punto de vista formal. Sucede que en la demostración del resultado de Banach-Tarski la partición de la esfera de radio 1 en ocho partes, una de esas partes se construye teniendo medida nula (se reduce a un punto), para obtener todas estas particiones de la esfera se usa el axioma de elección. Otro hecho que podríamos pensar en términos del volumen de una esfera de radio 1 es que jamás puede ser transformado en dos esferas que dupliquen el volumen. Sin embargo, no es correcto pensar así, puesto que en la demostración de este resultado cada una de las ocho partes no son medibles según Lebesgue, es decir, no poseen volumen, lo que significa que no todo conjunto de puntos tiene un volumen en la formalidad matemática.

Una consecuencia sorprendente del resultado BanachTarski, es demostrar que se puede particionar una bola del tamaño de la tierra, reordenar esta partición y obtener una bola del tamaño del sol.

Este y otros resultados matemáticos resultan contraintuitivos con la realidad física, puesto que no se comprende el estatus ontológico de los objetos matemáticos como ficciones gobernadas por sistemas formales, interpretables conceptualmente. En matemática no existe tal paradoja, todo está fundamentado rigurosamente, si bien es cierto que los objetos matemáticos solo existen en el cerebro humano, se exteriorizan en un papel o pizarra mediante simbología, esquemas y procesos lógicos, en esencia todo es una ficción. Los objetos y procesos fácticos pasan por una idealización de un matemático o cualquier persona con alguna formación matemática, para así poder usar todas las herramientas técnicas que tiene la matemática.

Por supuesto que el proceso de idealización no es perfecto, tiene limitantes a veces aleatorias; es por ello, que a veces fallan estas isovalencias. No podemos confundir realidad física con ficción, la ficción es lo único que los seres humanos hemos inventado, siendo útil y necesario para el progreso de la humanidad.


Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla

Colaborador


Notas relacionadas

La influencia que han ejercido las ideas de Platón (Atenas, 429-347 a. C.) en la mente de los matemáticos perdura hasta nuestros días. Matemáticos contemporáneos como G. H. Hardy y Kurt Gödel son declarados platonistas.

Los problemas de la humanidad se agudizarán; en primer lugar, por la falta de alimentos ya que, con suelos destruidos o empobrecidos.

Científicos descubrieron en estos días un exoplaneta en órbita a una de las dos estrellas pequeñas de un sistema binario ubicado a unos 100 años luz de la Tierra.

La bacteria P. luminiscens actuó sobre las heridas de los soldados como un como un antibiótico muy eficaz, lo que explica por qué las heridas fluorescentes sanaban más rápido que las heridas sin la bacteria fluorescente. Seguramente, esta bacteria salvó la vida de varios soldados, ¿cómo pasó?

Los conjuntos han estado presentes desde nuestros primeros años, como consecuencia del paradigma formalista de D. Hilbert y la influencia del grupo Bourbaki en la enseñanza de la matemática desde mediados del Siglo XX.

Un grupo de científicos reveló que el papiro narra la “vivificación de los gorriones”.

El profesor Sullivan “es de los pocos matemáticos que, dentro de su mente, es capaz de ver mundos que son solo series de símbolos. Tiene una imagen mental de objetos mucho más abstractos que los objetos geométricos más cotidianos”.

El matemático sintió mucha inclinación por las humanidades y los idiomas, aprendió latín, griego, alemán, italiano y francés. Además, estudió por su cuenta y nunca obtuvo un título académico, aún así, fue reconocido a lo largo de su vida.

El aspecto físico no es suficiente para convencer a las parejas y, como sucede con los pájaros, entonces se recurre al talento artístico mediante serenatas y bailes elaborados.

Pero los métodos subjetivos de conocimiento de la historia como el de comprender (o “verstehen”) no resuelven el problema de la objetividad.

Las consecuencias del calentamiento global antropogénico están ocurriendo con una rapidez mayor a la pronosticada por la comunidad científica.

Los modos del pensamiento matemático influyen en su hacer, el Siglo XX ha sido testigo de al menos dos formas de este hacer, con marcada influencia ideológica.

Euclides concentró todo el conocimiento matemático creado por los filósofos y matemáticos anteriores a él, entre ellos Eudoxo y Aristóteles.

De acuerdo con las asociaciones opositoras, se trata de una ley centralista en tanto no garantiza el derecho a una participación ciudadana autónoma.

El tránsito hacia una matemática filosófica exige iniciar una quinta revolución matemática; para ello, el estudio de la historia desde el hacer de un matemático es fundamental.