En un congreso sobre el método de la física teórica dictada en Oxford en 1933, Albert Einstein señaló que los conceptos y las leyes fundamentales de la física no se derivan por abstracciones de la experiencia, tampoco pueden atribuirse a la naturaleza de la razón humana; señalaba que son invenciones libres del espíritu humano, o sea, la invención o creación es la esencia del trabajo científico. Estas ideas fueron centrales en la ciencia del Siglo XX, incluida la matemática.

El famoso Círculo de Viena fue un grupo de pensadores y filósofos de la primera mitad del Siglo XX, creadores del empirismo lógico, una de las corrientes filosóficas más importantes del siglo, que señalaba que “el pensamiento científico inventa conceptos implícitamente definidos mediante axiomas, postulados arbitrariamente, sin otra exigencia que la ausencia de contradicción”. Bajo esta influencia, David Hilbert instauró en la matemática el paradigma del formalismo, que caracteriza a la matemática de nuestro tiempo.

En 1934, Kart Popper publicó su Lógica de la investigación científica, donde afirmaba que es imposible conformar una teoría científica comparando sus consecuencias lógicas con los resultados de sus observaciones; y la experimentación, la comparación, solo sirven para poner a prueba la teoría. La ciencia en general ha seguido la concepción popperiana.

Sin embargo, en matemática, nuestras observaciones y experimentaciones se dan como constructos mentales bajo la única materialización de ejemplos, cálculos, deducciones lógicas, esquemas, gráficos etc., no ponemos a prueba alguna teoría matemática, porque nuestros objetos de estudio no son materiales, son mentales, solo requieren ser autoconsistentes. Esta característica lo hace tener un carácter atemporal.

La invención es fundamental para entender la matemática; los primeros axiomas a veces no vienen de la razón; por ejemplo, los matemáticos materializan, mediante un axioma, algo que no existe, como el conjunto vacío; para fundamentar a la geometría no euclidiana, tenemos que asumir que en un plano podemos tener un punto exterior a una recta donde pasan infinitas rectas paralelas, inventando un mundo paralelo al mundo euclidiano. Mediante la invención podemos entender que en un conjunto finito de puntos es posible crear una geometría, simplemente definiendo como recta a un subconjunto de puntos del conjunto finito, y así entender la geometría finita.

Dentro del paradigma actual del formalismo, los matemáticos inventan las reglas de juego iniciales, para luego seguir inventando conceptos y conexiones. La creatividad es lo esencial en el trabajo matemático; por lo tanto, la matemática es una ciencia formal eminentemente creativa, más allá de los ingeniosos cálculos o usos de estas herramientas técnicas en la solución de problemas reales, que son muy importantes, por cierto.

El paper matemático es una simplificación depurada de las ideas matemáticas, en aquel documento se encuentra lo formal de las invenciones, la precisión de las ideas y las técnicas; habitualmente no se encuentran los caminos fallidos, las ideas que no funcionaron, los errores técnicos que llevaron a ir por otros caminos, etc. Es fascinante penetrar en la mente de un matemático profesional e indagar en sus ideas, maravillarse de sus dificultades técnicas y cómo las supera. Ver su alegría cuando ocurre esto y su constante concentración para vencer dificultades.

En su obra Apología de un matemático, G.H. Hardy señala: “un matemático, al igual que un pintor o un poeta, es un creador de modelos. Si sus modelos son más permanentes que los de los otros es porque están compuestos por ideas. Un pintor crea modelos a partir de formas y colores, un poeta lo hace con las palabras. Un cuadro puede ser la personificación de una idea, pero dicha idea suele ser corriente y poco importante. Un matemático, en cambio, no tiene otro material con el que trabajar que las ideas, y por eso sus obras duran más ya que, con el paso del tiempo, las ideas se deterioran menos que las palabras”.

Las ideas de G.H. Hardy nacen de la creatividad, de la invención, de artefactos conceptuales intrínsicamente puros, ontológicamente neutros, que se conectan ampliando su riqueza conceptual, su importancia en el conocimiento humano es completamente intrínseco.