La ecuación íntegro-diferencial, que sirve para describir fenómenos naturales y sociales muy complejos en los que interactúan varias especies o individuos, fue obtenida por el físico-matemático italiano Vito Volterra (1860-1940) y el geofísico y matemático ruso Vladímir Aleksandrovich Kostitzin (1883-1963) cuando examinaban el modo en que crece la población. Esta ecuación, compuesta con operadores diferenciales y un término integral, fue resultado de una larga investigación sobre las influencias hereditarias realizada por ellos y que hoy ha encontrado innumerables aplicaciones en economía, biología, ecología, física, mecánica e ingeniería de materiales.

En efecto, el modelo planteado por Volterra y Kostitzin en la primera mitad del Siglo XX, con algunas pequeñas modificaciones, es usado hoy para: 1) el análisis de la interacción entre las neuronas inhibidoras y excitadoras (modelo de Wilson-Cowan); 2) la teoría de los circuitos (modelos de nodo de Kirchhoff); 3) el estudio de la dispersión de la luz (modelo de Schwarzschild-Milne); 4) el proceso estocástico estacionario de tiempo continuo (modelo de Lévy); 5) la conducción del calor en los medios de memoria (modelo Gurtin-Pipkin); 6) la dinámica de los cuerpos sólidos viscoelásticos (modelos de Maxwell y de Kelvin-Voig); 7) la cinética de los gases (modelos de Boltzmann-Maxwell) y 8) la teoría del impulso acústico (modelo de Euler o de Navier-Stokes), entre otros campos de la mecánica y la física, tales como el modelo para la varilla viscoelástica de Gustav Kirchhof y el modelo isotrópico viscoelástico en el que los parámetros de Lamé de un medio elástico son determinantes.

La ecuación íntegro-diferencial de Volterra, así conocida hoy, fue creada en el apogeo de la biología molecular y la genética para resolver una necesidad práctica. Fue necesario proporcionar un modelo matemático que respaldara el renacimiento de la teoría de la evolución y selección natural de Charles Darwin y justificara la naciente bioquímica y biomatemática a principios del Siglo XX. Aportaciones como el modelo tetraédrico para el átomo del carbono proporcionado por Jacobus Henricus van’t Hoff y Joseph Achille Le Bel; la composición de los ácidos nucleicos descubiertos por Phoebus Aaron Theodore Levene; la cristalografía de rayos X establecida por William Henry Bragg padre y William Lawrence Bragg hijo y los compuestos básicos de la materia viva concebidos por Hermann Emil Louis Fisher, obligaron a los matemáticos a generar un modelo que describiera, con fidelidad, la realidad biológica y química de esa época.

Por el otro lado, la biomatemática o biología matemática, rama de la ciencia que usa modelos matemáticos (ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales) para modelar problemas biológicos, fue creada también por una necesidad práctica: la de estudiar un sistema biológico, donde, en un medio común, convive un número finito de especies de animales, todos luchando por conseguir alimentos o por sobrevivir a la amenaza de un predador que solo un número pequeño de ellos podrá superar, según la teoría darwinista. Los pioneros en el desarrollo de esta teoría fueron Volterra y Kostitzin.

 Ellos son los que crearon la biomatemática en una serie de cartas científicas que intercambiaron desde que se conocieron en París, Francia, en el ciclo de conferencias que Volterra impartió en el Instituto Henri Poincaré. El compendio de ese ciclo fue publicado después como Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie (Lecciones sobre la teoría matemática de la lucha por la vida). (Para más detalle de estos conocimientos, léase La correspondencia entre Vladímir A. Kostitzin y Vito Volterra (1933 – 1962) y los inicios de la biomatemática, de Giorgio Israel y Ana Millan Gasca).

Eran años en los que la teoría evolucionista y la selección natural de Darwin renacían y se requería nuevas herramientas matemáticas para demostrar su validez de tales innovaciones en el ámbito biológico. En este contexto histórico fueron introducidas las ecuaciones íntegro-diferenciales de Volterra, que hoy sirven para describir y predecir innumerables fenómenos naturales y sociales. Ahí es donde radica la utilidad de los modelos matemáticos, que bien cimentados, estructurados y enraizados en la realidad material y, desde luego, acompañados siempre de un método científico y de una filosofía materialista, podrán orientar al científico para que sus descubrimientos sean puestos al servicio de los más necesitados del planeta.