Nikolái Ivánovich Lobachevski es considerado uno de los educadores más influyentes de la Rusia zarista en el siglo XIX, uno de los primeros matemáticos que criticó los postulados de Euclides y revolucionó la teoría de éste con la geometría lobachevskiana o hiperbólica. Enseñó matemática durante 40 años en la Universidad Imperial de Kazán, de la que fue rector 19 años, equipó bien y convirtió en una de las mejores instituciones educativas de Rusia.

El quinto postulado de Euclides señala que sobre un plano hay una única recta paralela a una recta ya existente. Esta afirmación fue refutada por Lobachevski, quien al cabo de nueve años de estudio concluyó que en lugar de una sola recta había una infinidad de rectas paralelas a la existente.

Esto puede encontrarse en su ensayo Una presentación concisa de los elementos de geometría con una prueba estricta del teorema sobre las paralelas (1826). Desafortunadamente, el trabajo no fue publicado por el Departamento de Física y Matemáticas de la Universidad de Kazán. Más tarde el manuscrito fue incluido en su nuevo resultado Sobre los elementos de la geometría (1829-1830) y vio la luz en el Boletín de Kazán.

Fue la primera publicación de geometría no euclidiana en la literatura mundial. Lobachevski consideró el postulado de las paralelas de Euclides una restricción arbitraria, ya que impide la descripción de las propiedades del espacio tridimensional. Lo que lo llevó a concluir que “en un plano a través de un punto que no se encuentra en la línea recta dada, pasa más de una línea recta que es paralela a la recta dada”. 

Esta teoría dio origen a la geometría hiperbólica que no incluía a la euclidiana, pero que la segunda podía obtenerse de la primera haciendo que la parte curva del espacio de Lobachevski se hiciera plana, es decir, que la curvatura tendiera a cero. Sus ideas científicas fueron muy revolucionarias para su tiempo y no fueron comprendidas por sus contemporáneos. Por ejemplo, su trabajo Sobre los elementos de la geometría, que presentó a la Academia de Ciencias en 1832, recibió opiniones negativas de parte del reconocido físico y matemático ruso Mijaíl Vasílievich Ostrogradski, quien reconoció posteriormente que no entendió nada, excepto dos integrales, una de las cuales, en su opinión, no se calculó correctamente.  

Lobachevski continuó desarrollando su geometría, seguro de sí mismo y a pesar de la incomprensión de la comunidad científica rusa. Publicó, entre 1835 y 1838, una serie de artículos sobre la geometría imaginaria en Escritos Científicos, de la Universidad de Kazán; más tarde fue publicado su trabajo Sobre nuevos elementos de la geometría con una teoría completa de las paralelas.

Sin embargo, sus resultados no fueron comprendidos en su tierra natal y recurrió a matemáticos extranjeros. En 1837 su artículo Geometría imaginaria, escrito en francés, apareció en la reconocida revista Krelle con sede en Berlín y, en 1840, publicó en alemán un pequeño libro titulado Estudios geométricos sobre la teoría de las paralelas que contenía una presentación clara y sistemática de sus ideas principales. Dos copias de la obra cayeron en manos de Karl Friedrich Gauss, considerado el rey de los matemáticos de la época.

Y resultó que Gauss se encontraba trabajando también en una geometría no euclidiana. Después de leer aquellas copias, Gauss compartió con sus amigos cercanos el enorme entusiasmo que sintió al darse cuenta que alguien más incursionaba en el tema. Por ejemplo, en una carta destinada al astrónomo Heinrich Christian Schumacher que data de 1846, calificó el resultado con las siguientes palabras: “usted sabe que desde hace 54 años comparto los mismos puntos de vista que Lobachevski; no encontré en el trabajo nada realmente nuevo. Pero en el desarrollo del tema, el autor no siguió el mismo camino que yo seguí. Su trabajo es ejecutado con maestría, en un verdadero espíritu geométrico”. 

Las investigaciones de Lobachevski hicieron que Gauss propusiera a la Academia Real de Ciencias de Gotinga que lo integrara como miembro corresponsal extranjero, pues consideraba que era el matemático más brillante del Estado ruso. La elección tuvo lugar en 1842 y fue el único reconocimiento científico que Lobachevski recibió en vida. Gauss quedó tan impresionado de los resultados geométricos del genio de Kazán que él mismo comenzó a estudiar ruso para entenderlos a detalle. Aquellos trabajos fueron reconocidos 12 años después de la muerte del geómetra ruso. Los modelos de la pseudosfera, proyectivo y euclidiano-conforme, creados respectivamente por los matemáticos italiano Eugenio Beltrami (1868), alemán Felix Klein (1871) y el francés Heinri Poincaré (1883), demostraron que la geometría de Lobachevski era tan sólida como lo era la geometría euclidiana.

Gracias a las contribuciones del matemático ruso surgieron la geometría riemanniana, la teoría general de los sistemas axiomáticos y el Programa de Erlangen de Felix Klein, indispensables para comprender la geometría del universo en el que habitamos.