Los conjuntos han estado presentes en nuestra etapa escolar desde nuestros primeros años, como consecuencia del paradigma formalista de D. Hilbert y la influencia del grupo Bourbaki en la enseñanza de la matemática desde mediados del Siglo XX. El discurso matemático escolar entrega solo una idea de conjunto, asociándolo al concepto de pluralidad, causando una ruptura cognitiva en los jóvenes cuando se le dice que el vacío es también un conjunto matemático, puesto que al no tener elementos, evidentemente no hay concepción de pluralidad. Si le preguntamos a un matemático profesional ¿por qué el conjunto vacío es un conjunto?, es muy probable que tampoco tenga una respuesta convincente. Para responder a esta conjetura, se tendría que definir qué es un conjunto y luego demostrar que evidentemente el objeto matemático que no posee elementos cumple con la definición de conjunto dada; sin embargo, resulta que el objeto matemático conjunto no es definible dentro de los parámetros formales, por lo tanto, no tenemos respuesta.

El hecho de concebir objetos matemáticos no definibles fue idea de D. Hilbert, quien consideró nuestras limitantes cognitivas y de lenguaje. Esto le permitió construir un primer sistema formal en la geometría que subsanara los errores cometidos por Euclides en su obra Elementos, al intentar definir objetos matemáticos como punto, recta y plano. El optimismo de D. Hilbert fue grande; pensó que toda la matemática debía construirse por objetos básicos no definibles gobernados por axiomas (afirmaciones matemáticas que se admiten sin definición), inventando lo que se llama sistemas formales y que constituye el aspecto central de la escuela filosófica de la matemática denominada formalista y que impera hasta el día de hoy.

Aunque no se tenga una definición de conjunto, a principio del Siglo XX se inventaron sistemas formales, como el de Zermelo- Francken, que concibieron axiomas básicos para la existencia de los conjuntos, con el propósito de reconstruir toda la matemática desde los sistemas numéricos hacia adelante. Bajo esta axiomática formal es posible demostrar fehacientemente que el objeto matemático sin elementos cumple con los axiomas de existencia de conjuntos, por lo tanto, es un conjunto.

Desde la demostración formal de que el objeto sin elementos es un conjunto, se inicia la transposición didáctica, un discurso matemático escolar de pluralidad para los conjuntos, para hacerlo compatible con los principales axiomas de existencia de conjuntos, sin darse cuenta que este discurso matemático escolar entra en conflicto con el llamado “conjunto vacío”. Desde el ámbito matemático hilbertiano no hay respuesta a la pregunta ¿qué es un conjunto?, que es una pregunta filosófica, más que científica.

En el ámbito filosófico hay más preguntas y de mayor profundidad, como ¿qué es un objeto matemático?; ¿existe o no?; si existe, ¿dónde se encuentra; ¿qué naturaleza tiene?; si no existe, ¿por qué la matemática da cuenta de la realidad? etc. Aún más: ¿qué significa pertenecer a un objeto matemático?; nos encontramos con una relación entre objetos que tampoco el matemático define.

No es posible responder a la conjetura ontológica ¿qué es un conjunto? o en general ¿qué es un objeto matemático?, no existen respuestas convincentes dentro de las escuelas clásicas de la filosofía de la matemática (platonismo, logicismo, intuicionismo, formalismo). En las formas de existencia de una realidad es fundamental dilucidar para ver si los conjuntos existen o no. Consideramos que hay existencias materiales y también no materiales, como por ejemplo, las ondas electromagnéticas, pero también existen las invenciones humanas, por ejemplo, el dinero, la política, las ciudades, etc. El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de La Mancha es otra invención humana, existe el medio material donde fue escrito (libro), sin embargo, la interpretación conceptual de la obra solo se encuentra en la mente humana. Es importante mencionar que sin el medio material (libro), probablemente esta obra ya no existiría (por las limitaciones humanas de recordar las cosas), además, sin la mente humana el libro solo sería un objeto como también lo es una piedra. Dentro de este tipo de existencia están los conjuntos, no tienen existencia material, es por ello que no necesariamente poseen la propiedad de pluralidad.