Cargando, por favor espere...

Origen y desarrollo del cálculo infinitesimal (2/2)
El gran pensador griego demuestra que el continuo no puede estar hecho de un conjunto de indivisibles (átomos) o de puntos (“aquello indivisible en partes”), como lo habían planteado Leucipo, Demócrito y Euclides.
Cargando...

Continuando con la discusión acerca del movimiento y la continuidad, reproduciré algunos pasajes escritos por el filósofo y científico Aristóteles en su obra Física, libro VI. En el apartado El continuo como lo infinitamente divisible, el gran pensador griego demuestra que el continuo no puede estar hecho de un conjunto de indivisibles (átomos) o de puntos (“aquello indivisible en partes”), como lo habían planteado Leucipo, Demócrito y Euclides. Esta definición nos lleva a una contradicción, advirtió Aristóteles, porque “ni los extremos de los puntos pueden ser uno, ya que en un indivisible no puede haber un extremo que sea distinto de otra parte, ni tampoco pueden estar juntos, pues lo que no tiene partes no puede tener extremos, ya que un extremo es distinto de aquel de lo cual es extremo”.

Con este argumento lógico, no solamente demostró Aristóteles la divisibilidad infinita de lo continuo, sino también la del tiempo y del movimiento, como lo prueba su siguiente razonamiento: “si todo movimiento es divisible y si una cosa en movimiento con una velocidad igual recorre una distancia menor en un tiempo menor, entonces el tiempo también será divisible”. Usando este resultado demostró que si “dos cuerpos están en movimiento, el más rápido recorrerá una distancia mayor en un tiempo igual, una distancia igual en un tiempo menor y una distancia mayor en un tiempo menor”, con lo que siempre es posible que el móvil más rápido no solo alcance al móvil más lento, sino que lo rebase, tanto como se quiera. En el caso de Aquiles y la tortuga, por ejemplo, el más veloz entre los aqueos logrará rebasar sin mucha dificultad al reptil más lento del planeta, que se desplaza a una velocidad promedio de 0.040 km/h. Con esta argumentación, el estagirita demostró a Zenón de Elea el error de su lógica.  

Sin embargo, para cerrar la discusión planteada por Zenón en sus paradojas, Aristóteles tuvo que demostrar la continuidad del tiempo. Al respecto argumentó: “puesto que todo movimiento es en el tiempo y en todo tiempo algo puede moverse más rápidamente o más lentamente, en todo tiempo podrá haber un movimiento más rápido o más lento”. Si esto es así, razonó, es necesario que el tiempo sea continuo, entendiendo al continuo como aquello “divisible en divisibles siempre divisibles”. Dos mil cien años después, el matemático alemán Georg Cantor le daría la razón al demostrar la densidad del conjunto de los números racionales e irracionales, es decir, la existencia infinita de números racionales e irracionales, entre dos cualesquiera de ellos, respectivamente. Con esta aportación matemática quedó demostrada formalmente la continuidad de la recta real, aunque Aristóteles ya lo había resuelto lógicamente. 

 Sin embargo, quedaba pendiente un problema todavía por resolver: el carácter infinito del tiempo y magnitud, tanto si son considerados infinitamente pequeños (división infinita) o infinitamente grandes (adición infinita). Ambas respuestas las proporcionó Aristóteles con sus dos tipos de infinito: el infinito potencial, definido como proceso de crecimiento o de división sin final e infinito actual, considerado como “una totalidad completa”. Una vez respondida la pregunta, Aristóteles pasa a las siguientes consideraciones: “si el tiempo es infinito con respecto a sus extremos, así también lo será la longitud”; “si el tiempo es infinito con respecto a la división, así también lo será la longitud”; y “si el tiempo es infinito en ambos respectos, la magnitud será también infinita en ambos respectos”. Guiándose con esta aseveración, Aristóteles demostró lógicamente que es posible recorrer un espacio infinito, pero solo en un tiempo infinito: “no es posible durante un tiempo finito tocar cosas que sean infinitas por su cantidad, pero se las puede tocar si son infinitas por su división, porque en este sentido el tiempo mismo es infinito. Así el tiempo en el que es recorrida una magnitud no es finito sino infinito y las infinitas cosas no son tocadas en un tiempo finito sino en infinitos intervalos de tiempo”. Con esto, Aristóteles zanjó, de una vez y por todas, las paradojas planteadas por Zenón.

No por nada Aristóteles se había ganado el respeto y admiración de Carlos Marx al considerarle como el “pensador dotado de una ciencia verdaderamente enciclopédica”. Aquí vemos, una vez más, la aportación de este gran pensador al mundo del cálculo infinitesimal.


Escrito por Romeo Pérez

Doctor en Física y Matemáticas por la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Lomonosov, de Moscú, Rusia.


Notas relacionadas

En nuestros días, los científicos discuten con gran preocupación el posible aumento, en las futuras generaciones, de enfermedades o males derivados del efecto ambiental catastrófico más grande después de la época de las postguerras.

El caso chileno ilustra los riesgos ecológicos que trae consigo la producción de litio: en el Salar del Carmen se extrae diariamente cantidades gigantescas de agua la empresa SQM, la segunda mayor productora de litio en el mundo.

Por definición, un alimento funcional es aquel que es ingerido de manera regular en la dieta, que además de ser nutritivo, ofrece beneficios para la salud o reduce el riesgo de padecer enfermedades.

En nuestro país, el uso indiscriminado de fertilizantes químicos en la actividad agrícola se ha vuelto muy importante debido al empobrecimiento de los suelos.

Aquí una síntesis de una cercana catástrofe ambiental y la urgencia de replantear nuestro enfoque económico para garantizar la supervivencia a largo plazo de la vida como la conocemos en nuestro planeta.

Solo es necesario que una fracción del hielo antártico se derrita para causar estragos en el nivel geológico en nuestro planeta. Un incremento del nivel del mar que supere los dos metros de altura pondría en peligro a 770 millones de personas.

¿Cómo es que estos genes pasaban de los padres a los hijos?

Las buenas noticias disparadas desde Palacio Nacional, que pintan a un México próspero y “feliz”, parecen no corresponderse con las estadísticas del INEGI.

Sabemos que la comida nos da energía para tener fuerzas para movernos de un lugar a otro, pero ¿cuántos sabemos cómo es que los músculos pueden funcionar con esta energía? Explico.

Sirva de ejemplo la vida de Bonaventura Francesco Cavalieri para que los jóvenes mexicanos decidan estudiar matemáticas y comprendan que es útil en la resolución de problemas reales.

Este filme aborda la vida de la científica marina Sophia (Berenice Bejo), quien se dedica a estudiar el comportamiento de la especie más depredadora de los océanos: el tiburón blanco.

Desde el punto de vista biológico, el envejecimiento humano es la acumulación de diversos daños celulares y moleculares a lo largo del tiempo, lo que lleva a un descenso gradual de las capacidades físicas y mentales.

La bacteria P. luminiscens actuó sobre las heridas de los soldados como un como un antibiótico muy eficaz, lo que explica por qué las heridas fluorescentes sanaban más rápido que las heridas sin la bacteria fluorescente. Seguramente, esta bacteria salvó la vida de varios soldados, ¿cómo pasó?

“Estamos ante la presencia del gobierno que intenta ver como accidentes, lo que más bien han sido tragedias provocadas por la ausencia de mantenimiento”, denunció Andrés Atayde, presidente del PAN.

Para muchos es normal que en la época de fin de año las temperaturas sean bajas. Esto se debe, en gran medida, a la inclinación de 23.5 grados del planeta con respecto a su eje, que va del polo norte al sur.