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En 1870, Eduard Heine (1821-1881) buscaba determinar las condiciones para la unicidad de la representación de funciones reales mediante series trigonométricas (Fourier). Heine logró demostrar que si una serie trigonométrica converge a una función continua en un intervalo dado, entonces la serie es única. Sin embargo, no encontró una demostración general para tal hecho, tarea que encomendó al matemático alemán George Cantor (1845–1918), quien logró demostrar en su tesis doctoral que la representación es única si la función a representar sea discontinua o la serie no converja en una cantidad finita de puntos. En 1872, Cantor demostró que la unicidad seguía valiendo para un caso excepcional de una cantidad infinita de puntos; a esta condición excepcional la llamó Conjunto Derivado.
Sea P el conjunto de números del intervalo [a, b], en los que la serie no converge o la función es discontinua (usando el principio de extensión). Si P es infinito, existirán puntos de acumulación (resultado de Karl Weierstrass). Al conjunto de aquellos puntos de acumulación, Cantor lo llamó Conjunto Derivado de P y fue denotado por P´. En general P´ es un conjunto infinito y podemos aplicar el mismo razonamiento y conseguir P´´, y así sucesivamente, de tal forma que Pn es el conjunto de puntos de acumulación de Pn−1. Si Pn existe n entonces P se llama “conjunto de segunda especie”, o si deja de existir para algún n, en este caso se llamaba “conjunto de primera especie”. Usando procesos inductivos, Cantor muestra que, si P es de primera especie, entonces la serie trigonométrica es única. Esta idea notable resultó esencial, para que los matemáticos de la época empezaran a desarrollar estos métodos conjuntistas en sus investigaciones. Además, Karl Weierstrass estableció la idea de convergencia uniforme, para que esto funcione.
El matemático que desarrolló esta metodología usada por Bernard Riemann y George Cantor fue Richard Dedekind (1831-1916), dándole resultados extraordinarios; podemos decir que sentó las bases modernas de lo que hoy llamamos Álgebra abstracta. En 1871, Dedekind publicó su Teoría de números algebraicos, también llamada Teoría de ideales por Hilbert; también presentó la noción de cuerpo, anillos enteros, módulos e ideales. En sus clases en la Universidad de Göttingen, Richard Dedekind expuso lo que hoy llamamos Teoría de Galois, en su versión moderna. Sin lugar a dudas era un extraordinario algebrista abstracto: estableció las primeras ideas para concebir a los números enteros a partir de las nociones fundamentales de la Teoría de Conjuntos; mediante la noción de Cadena demostró cómo se pueden obtener todas las propiedades aritméticas de los enteros usando los conjuntos de Cantor. Por otro lado, construyó los números reales con base en las llamadas cortaduras en Q, que hoy llevan su nombre. Todo este extraordinario trabajo fue posible gracias a la metodología conjuntista, pese que no era lo habitual dentro de sus contemporáneos, que preferían una metodología más constructivista.
Desde 1878 a 1892, George Cantor llama a la Teoría de Conjuntos como Teoría de Variedades, siguiendo la idea de Bernard Riemann. Probó que R y Rn son equipotentes, es decir, tienen la misma cardinalidad (mismo número de puntos); que los números racionales son numerables y que los números reales, no lo son. El concepto de “cardinalidad” llamó la atención de Cantor e intentó determinar la cardinalidad de R. Unos años después desarrolló los conjuntos bien ordenados y formuló la famosa Hipótesis del Continuo, cuyo enunciado afirma que “no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el conjunto de los números naturales y del conjunto de los reales”. A los números reales también se le suele llamar “continuo”. En estas investigaciones introdujo la construcción de los números reales a través de sucesiones fundamentales también llamadas Sucesiones de Cauchy.
Los estafadores ingresan a la información personal del usuario, roban datos bancarios y utilizan la dirección de correo para lanzar ataques a otros contactos.
“Caffarelli tiene una intuición fantástica, es sencillamente notable… me costó mucho seguirle el ritmo. De algún modo, ve inmediatamente cosas que los otros no ven”, afirmó el afamado matemático Louis Nirenberg.
El mal manejo, la extracción ilegal y la mala información, así como los mitos y el desarrollo turístico, han llevado a pérdidas importantes en el número de poblaciones de la cacerolita de mar.
Al igual que todos los virus de ARN, los coronavirus tienden a mutar de manera muy frecuente.
El aumento quizá se deba, dicen los científicos, al aumento de la temperatura de la superficie del mar en el mundo, que ha aumentado drásticamente en las últimas décadas como consecuencia de la quema de combustibles fósiles.
Leonard Euler aún de avanzada edad y ciego, continuó su producción a un ritmo acelerado; en 1770 publica otra de sus obras más sobresalientes Introducción al álgebra, pedagógicamente impecable.
“Para los mexicanos, el maíz está entrelazado con su vida, su historia y sus tradiciones; no es solo un cultivo, sino el centro de su identidad", Sin embargo, hoy el maíz no cubre la demanda nacional, entre otras deficiencias.
Urge tomar medidas para incrementar la cobertura; de lo contrario, rebrotes de sarampión, tuberculosis, difteria, poliomelitis, tétanos, rotavirus, rubeola, influenza, entre otras, pueden minar o acabar con la vida de miles de niños.
¿Alguna vez te has preguntado por qué el cempasúchil tiene ese aroma tan característico? Detrás de su belleza se esconde una historia que explora los compuestos responsables de la “experiencia multisensorial” que ofrece esta flor.
Estableció formalmente la continuidad de la recta real, definiendo un número real por medio de un dispositivo llamado cortadura.
Para aprovechar el petróleo crudo, éste debe someterse a un proceso de destilación fraccionada para separar sus diferentes componentes, dependiendo del tamaño de las moléculas y de sus puntos de ebullición (temperatura a la cual un líquido pasa a fase gas
El informe #ChatarraInfluencer revela que a nivel mundial, la industria de comida aumentó 58% su gasto en redes sociales para promocionar su mercancía.
Es posible crear una matemática filosófica desde el hacer de un matemático que sea realmente relevante y visionaria. Debe de ser una reflexión humanizante, pero a la vez esclarecedora del mundo de las ideas formales.
Se trata de "una zona que está cubierta con nieve 10 meses al año, de difícil acceso por la altura y geografía que ostenta una tupida vegetación y bosque valdiviano".
George Cantor sufrió una una profunda depresión por la muerte de su hijo, pero también por las ideas religiosas que tenía: Dios le revelaba todas las deducciones lógicas a las que llegó.
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Escrito por Dr. Esptiben Rojas Bernilla
Colaborador