Albert Einstein, conocido por sus teorías de relatividad especial y general, estudió detalladamente la geometría riemanniana para poder describir la curvatura del espacio-tiempo. Sus estudios se basaron en el tensor de curvatura de Riemann, una entidad algebraica independiente de cualquier sistema de coordenadas que generaliza los conceptos: escalar, vector y matriz. Esta herramienta matemática ayudó a caracterizar espacios curvos de dimensiones superiores a tres, incluyendo el espacio-tiempo de Einstein. En efecto, si el tensor de Riemann resulta ser cero, entonces el espacio es plano y si es distinto de cero, entonces el espacio es curvo de tipo hiperbólico o elíptico.

El tensor de Riemann, introducido por su autor en 1862, abrió la posibilidad de estudiar la estructura geométrica del Universo real. Durante la segunda mitad del Siglo XIX, la aportación de Riemann a la teoría tensorial se había quedado en el terreno teórico; pero en la teoría de la relatividad general de Einstein fue utilizada para el análisis de la estructura geométrica del Universo real donde habitamos los seres humanos y las estrellas. Einstein demostró que el espacio y el tiempo forman una variedad diferenciable que bautizó como espacio-tiempo y comprobó que tal espacio queda definido por el tensor de curvatura de Riemann distinto de cero.

Las observaciones de la realidad guiaron a Einstein hacia el descubrimiento de que la geometría euclidiana no encajaba en sus investigaciones. Se dio cuenta que la contracción relativista de las distancias aplicadas a un cuerpo que gira uniformemente hacía que la circunferencia cambiara con el movimiento, pero no así el diámetro, que era perpendicular al vector velocidad. Esta demostración contradecía la fórmula de longitud de la circunferencia L=D π, dado que al dividir la longitud L de la circunferencia sobre su diámetro D no se obtenía el número irracional π. Lo que dejaba en claro que el cuerpo, al girar, dependía de la velocidad y no del diámetro. Este análisis condujo a Einstein a abandonar la geometría euclidiana para compenetrarse en el estudio de la geometría riemanniana, que le sirvió para demostrar que las longitudes y el tiempo dependían no solo de la velocidad, sino también del movimiento acelerado, ambos generados por la presencia de la materia (para más detalle leer el libro Albert Einstein: navegante solitario, del doctor en física y matemáticas Luis Fernando de la Peña Auerbach).

Para consolidar su teoría, Einstein demostró, además, que la luz no solo es desviada por su peso (teoría newtoniana) sino también, y sobre todo, debido a la curvatura del espacio provocada por la masa del Sol (teoría relativista). Esta conclusión fue confirmada en mayo de 1919, por el astrónomo Arthur Eddington en un eclipse solar. Las fotos mostraron una desviación de las estrellas brillantes cercanas al Sol. Al comprobar que la luz se “curva” (o desvía) al estar muy próxima a una materia, en este caso la del Sol, llevó a Einstein a demostrar que la curvatura del espacio-tiempo se debe a la presencia de la materia. Concluyó que los cuerpos con masa menor recorren necesariamente las geodésicas de las deformaciones (curvaturas) provocadas por los cuerpos de masa mayor. Einstein dedujo entonces que “toda partícula sobre la que no actúan fuerzas excepto la gravedad, viaja a lo largo de una geodésica del espacio-tiempo”.

En las escuelas básicas aprendimos que la gravedad solar hace que nuestro planeta se mueva alrededor del Sol en una órbita elíptica. Pero la teoría general de relatividad de Einstein demostró que la masa del Sol es la que deforma (o curva) el espacio-tiempo en su recorrido y la Tierra, con los demás planetas que también tienen una masa menor, recorren necesariamente la geodésica al interior de la deformación formada en las proximidades del Sol. Estas conclusiones, obtenidas a partir del estudio del tensor de curvatura de Riemann, profundizaron en el conocimiento del hombre acerca de la estructura geométrica del Universo. Se demostró, así, que el espacio en el que viajamos los humanos y las estrellas es curvo y no plano, como se había considerado en los dos mil años precedentes.