El programa formalista de Hilbert, de establecer una matemática gobernada por sistemas formales, invenciones humanas que darían siempre respuesta a las conjeturas matemáticas planteadas por los matemáticos, fue llevada al fracaso por uno de los lógicos matemáticos más brillantes del Siglo XX, se trata de Austriaco Kurt Gödel, quién nació el 28 de abril de 1906 en Brünn. Fue un niño con gran curiosidad por saber el por qué de las cosas, demostrando capacidades para la reflexión filosófica, para la matemática y la física.

En 1923, Kurt Gödel ingresó a la Universidad de Viena, en donde estudió matemática, física y filosofía. En 1929 defendió su tesis doctoral, demostrando su famoso Teorema de Completitud, que se refiere a la lógica de predicados, en donde probó que es posible dar axiomas que permitan demostrar todas las afirmaciones de esta clase. Al fracasar el ideal de Bertrand Russell de traducir toda la matemática a la lógica, una de los problemas filosóficos y matemáticos más relevantes fue fundamentar el programa formalista de Hilbert; y fue Kurt Gödel quien demostró que para el caso de la aritmética elemental esto no es posible.

En 1931, Kurt Gödel publicó su artículo Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados, en donde demuestra sus famosos teoremas de incompletitud y consistencia. En términos generales, estos teoremas dicen que todo sistema axiomático computable que describa la aritmética de los números naturales no es completo, es decir, no siempre es posible demostrar afirmaciones matemáticas dentro del sistema; a esto se llama Teorema de Incompletitud de Gödel. Además, probó que la consistencia (libre de contradicciones) no es posible demostrarlo dentro del sistema. Estos resultados han causado una grieta en el conocimiento matemático, que hasta la actualidad tiene consecuencias filosóficas profundas. El trabajo formalista de los matemáticos continúa, aunque el ideal hilbertiano nunca se pueda alcanzar.

Kurt Gödel formó parte del famoso Círculo de Viena, un grupo de matemáticos, físicos y filósofos liderado por Morditz Schlick que se reunía para debatir problemas ontológicos y epistemológicos de la ciencia. El Círculo de Viena, adhería a la corriente filosófica del Positivismo Lógico, aunque Kurt Gödel no lo compartía del todo, puesto que era un declarado platonista.

En 1939, Kurt Gödel fue convocado por el ejército alemán, cayendo en una depresión nerviosa que nunca superó. En enero de 1940 aceptó un cargo de profesor visitante en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y huyó a Estados Unidos, acompañado de su esposa, Adele Porkert, por una ruta que permitía evadir a los Nazis. Ese mismo año publicó La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos.  En 1946 fue nombrado profesor permanente del Instituto; en 1947 publicó: ¿Qué es el problema del continuo de Cantor?, y en 1948 adoptó la nacionalidad norteamericana, nunca más regresó a Europa.

Kurt Gödel era un hombre poco sociable y sufría de hipocondría, uno de sus pocos amigos que tuvo fue Albert Einstein, con quien solían caminar juntos; los pocos trabajos fuera de la lógica fueron en Teoría de la Relatividad. Otra de las pasiones de Kurt Gödel fue la filosofía, ciencia en la que realizó profundas reflexiones sobre las consecuencias filosóficas de sus teoremas de incompletitud y consistencia, estudió los trabajos filosóficos de Leibniz, el problema de la existencia de Dios y la transmigración de las almas.

Kurt Gödel entró en un estado de temor obsesivo a ser envenenado, se negaba a comer, solo consumía las comidas que preparaba su esposa. Esta situación empezó a afectar la salud de su esposa, que a fines de 1977 fue internada por seis meses. Al no haber quien le preparara sus comidas, Kurt Gödel murió por falta de alimentación, el parte médico reza: “desnutrición e inanición causadas por perturbaciones en la personalidad”; murió pesando 30 kilos, el 14 de enero de 1978, en el Hospital de Princeton. Recibió varias distinciones en vida en reconocimiento a su obra; la Universidad de Harvard lo declaró “el descubridor de la verdad matemática más significativa del siglo”.