Con motivo del cuarto Evento Tecnológico de la Ingeniería de Sistemas (ETIS) efectuado en el Instituto Tecnológico de Tecomatlán los días 26 y 27 de septiembre, el comité organizador me propuso que diera un curso-taller sobre la historia del cálculo diferencial e integral, que más bien llamaría  Historia del cálculo infinitesimal, porque es a raíz del problema de las magnitudes continuas, que se consideraban como conjunto de partículas infinitamente pequeñas denominadas átomos, que surgió el cálculo de los infinitésimos.

La historia del cálculo infinitesimal comienza con la teoría atomista de los filósofos griegos Leucipo de Mileto (siglo V a. C.) y Demócrito de Abdera (460 – 370 a. C.), quienes intentaron dar respuesta al planteamiento sobre la inmutabilidad del ser de Parménides de Elea (siglo VI a. C.): el ser existe, el ser es, y no puede cambiar, porque si pasara de un estado A a un estado B, entonces dejaría de existir. Por lo tanto, el ser es el todo y es inmutable. Zenón de Elea (495 – 430 a. C.) retoma la idea de su maestro y construye sus famosas aporías que niegan la continuidad y el cambio.

Poco tiempo transcurrió para que Eudoxo de Cnido (390 – 337 a. C.) demostrara a Zenón que estaba en un error: siempre es posible caracterizar una magnitud continua haciendo que algo sean tan pequeño como se quiera, usando un método de aproximación conocido como método por agotamiento.

A esta aportación científica se sumó Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a. C.), quien retomó este método y lo complementó con el método por reducción al absurdo para calcular áreas de superficies curvas y volúmenes de sólidos. Se sabe que para calcular el área de un círculo de radio uno, el genio de Siracusa se aproximó al valor de π a 11 decimales.

Pero llegaría el matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598–1647), quien con la ayuda del concepto formal del infinito que introdujo en su teoría infinitesimal y pequeñas cantidades geométricas de Kepler, logró con éxito encontrar en 1635 el área del círculo. A partir de entonces y con las aportaciones de Pierre de Fermat (1601 – 1665) y René Descartes (1596 – 1650), los matemáticos Isaac Newton (1643–1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) unificaron y complementaron el cálculo integral con el diferencial. Desarrollaron reglas para manipular derivadas y demostraron, con el Teorema Fundamental del Cálculo, que ambos instrumentos (la diferencial y la integral) eran inversos.

A este desarrollo se sumaron las aportaciones de Brook Taylor (1685 – 1731), Jean-Baptiste d’Alembert (1717 – 1783), Joseph Lagrange (1736 – 1813), Andrien Legendre (1752 – 1833), Augustin Cauchy (1789 – 1857), Bernhard Riemann (1826 – 1866), Karl Weierstrass (1815 – 1897), Jean Gaston Darboux (1842 – 1917), entre otros matemáticos, quienes formalizaron la definición del límite en términos de épsilon (ϵ) y delta (δ).

Sin embargo, la historia del cálculo infinitesimal no termina ahí. Surgieron nuevos problemas para los que era necesario crear una nueva teoría; fue así que surgió la teoría de la medida que ayudó a calcular el área de la función f(x) de Dirichlet (1805 – 1859), la cual toma valores 1 si x es un número racional y 0 si x es irracional. Como se sabe, esta función no es Riemann integrable, pues el área bajo la curva es cero cuando x es irracional y uno cuando x es racional. Sin embargo, usando la teoría de la medida, creada por Camille Jordan (1838 – 1922), Henri Lebesgue (1875 – 1941), Émile Borel (1871 – 1956), Johann Radon (1887 – 1956), Felix Hausdorff (1868 – 1942), Thomas Stieltjes (1856 – 1894), entre otros contemporáneos, uno puede concluir que dicha función tiene medida cero.

En este punto terminó mi plática y comenzó la sesión de preguntas y respuestas. Las inquietudes giraron entorno a las contribuciones al cálculo infinitesimal de los matemáticos Jacob Bernoulli (1655 – 1705) y Leonhard Euler (1707 – 1783), que no mencioné en la primera intervención; la fecha precisa en que se comenzaron a usar las notaciones de las derivadas e integrales como las que usamos hoy; a cuál es el sentido de estudiar cálculo infinitesimal, a sus aplicaciones en la vida diaria; a los teoremas fundamentales expresados en él.

Los jóvenes preguntaron cuál es el propósito de estudiar cálculo infinitesimal, su importancia y la forma en que influye en el desarrollo tecnológico. Fue sorprendente el detalle con que los alumnos del CBTa 110 preguntaron. La única explicación que encuentro es que actualmente sus maestros han sabido despertar en ellos el interés por las matemáticas, descubriendo en el pueblo de Tecomatlán un semillero de matemáticos.