En matemática, tenemos que enfrentar lo infinito desde la finitud humana; en el idealismo se concibe como el límite asintótico de la intuición humana. Sin embargo, desde el formalismo matemático, simplemente se establecen axiomas que no entren en contradicción con el sistema formal. Esta característica de la matemática contemporánea no está exenta de críticas y reflexiones filosóficas, incluso desde el intuicionismo se niegan a usar axiomas que establezcan existencias, y no construcciones concretas de los objetos matemáticos.

Aceptar el axioma de elección (tratado en un artículo anterior) en donde se establece la existencia de un conjunto formado por elementos de conjuntos no vacíos, nuestra finitud humana no hace posible la verificación de esta operación mental de extraer algún elemento de una infinidad de conjuntos no vacíos, aunque formalmente sí lo podamos establecer si lo decretamos mediante un axioma. Una de las consecuencias que trae la aceptación de este axioma es denominado la Paradoja de Banach–Tarski, aunque sea un teorema rigurosamente demostrado en 1924 por los célebres matemáticos polacos Stefan Banach y Alfred Tarski. Lo paradójico de este resultado en un espacio tridimensional, una esfera de radio 1 puede ser particionada en ocho partes para luego recomponer cinco de estas partes en una esfera de radio 1 y las tres partes restantes en otra esfera también de radio 1. Este resultado parece un acto de magia, cómo una esfera de radio 1 se transforma en dos esferas de radio uno. Aún más, en cada una de estas dos esferas de radio 1 se puede seguir aplicando el mismo resultado de Banach-Tarski, y volver a particionar cada esfera y obtener dos esferas de radio uno, en total serían cuatro esferas de radio 1, y así sucesivamente. En concreto, es posible transformar una esfera de radio 1 en un número infinito de esferas de radio 1.

La mayoría de las veces hacemos isovalentes objetos reales como una esfera maciza de radio 1, con objetos matemáticos como la esfera de radio 1. Los objetos matemáticos no existen en la realidad fáctica, un objeto matemático es una ficción, solo existe en la mente humana; uno de aquellos objetos tiene medida nula (definible matemáticamente) que no existe en la realidad física pero cuya existencia aceptamos desde el punto de vista formal. Sucede que en la demostración del resultado de Banach-Tarski la partición de la esfera de radio 1 en ocho partes, una de esas partes se construye teniendo medida nula (se reduce a un punto), para obtener todas estas particiones de la esfera se usa el axioma de elección. Otro hecho que podríamos pensar en términos del volumen de una esfera de radio 1 es que jamás puede ser transformado en dos esferas que dupliquen el volumen. Sin embargo, no es correcto pensar así, puesto que en la demostración de este resultado cada una de las ocho partes no son medibles según Lebesgue, es decir, no poseen volumen, lo que significa que no todo conjunto de puntos tiene un volumen en la formalidad matemática.

Una consecuencia sorprendente del resultado BanachTarski, es demostrar que se puede particionar una bola del tamaño de la tierra, reordenar esta partición y obtener una bola del tamaño del sol.

Este y otros resultados matemáticos resultan contraintuitivos con la realidad física, puesto que no se comprende el estatus ontológico de los objetos matemáticos como ficciones gobernadas por sistemas formales, interpretables conceptualmente. En matemática no existe tal paradoja, todo está fundamentado rigurosamente, si bien es cierto que los objetos matemáticos solo existen en el cerebro humano, se exteriorizan en un papel o pizarra mediante simbología, esquemas y procesos lógicos, en esencia todo es una ficción. Los objetos y procesos fácticos pasan por una idealización de un matemático o cualquier persona con alguna formación matemática, para así poder usar todas las herramientas técnicas que tiene la matemática.

Por supuesto que el proceso de idealización no es perfecto, tiene limitantes a veces aleatorias; es por ello, que a veces fallan estas isovalencias. No podemos confundir realidad física con ficción, la ficción es lo único que los seres humanos hemos inventado, siendo útil y necesario para el progreso de la humanidad.