Sin lugar a dudas, la obra La Geometría escrita por el matemático y filósofo René Descartes (1596 -1650), establece un antes y un después en el desarrollo matemático. Esta obra es parte de El discurso del método, publicado en 1629, bajo la idea de dirigir la razón, en busca de la verdad en la ciencia. Bajo esta idea filosófica busca establecer mecanismos para resolver algunos problemas geométricos que los griegos no fueron capaces de resolver, por ejemplo, la trisección de un ángulo, para ello evitó restringirse a la regla y el compás, como lo hacían los griegos por cuestiones metafísicas.

Desde el punto de vista matemático, la obra de René Descartes tenía dos características esenciales:

No hacia distinción entre números y cantidades, usando símbolos para representarlas indistintamente.

Uso del método analítico, es decir, descomponer el todo en sus partes y luego recomponerlo a partir de esas mismas partes.

Para Descartes, la geometría de Euclides restringe la imaginación al apoyarse en figuras, mientras que el álgebra es oscura al poseer un gran número de reglas, se propuso reducir los problemas geométricos a ecuaciones algebraicas. Constituyendo un cambio cualitativo en el estudio de la geometría.

La obra La Geometría consta de tres partes en 120 páginas:

Parte I. Círculos y rectas: Donde generaliza las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces para magnitudes, superando a los griegos, para ello introduce una unidad referencial, válido solo para un problema específico, introduce el método de planteo de ecuaciones e incorpora las coordenadas, y plantea por primera vez el concepto de lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen determinada propiedad.

Parte II. Líneas curvas: Analiza la naturaleza de las líneas curvas, escoge geométricamente aquellas curvas que admiten ecuación algebraica. No solo usa la regla y el compás, sino también aquellas construidas con cierto aparato articulado que permita expresarla a través de una ecuación. También encuentra normales y tangentes a una curva.

Parte III. Sobre construcción de problemas de sólidos y supersólidos: Aquí plantea la solución de las ecuaciones obtenidas en la Parte II, aborda la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, que lo conlleva a una ecuación de tercer grado. Para resolver estas ecuaciones algebraicas plantea el Teorema Fundamental del Álgebra, sin demostrarlo, solo lo conjetura, porque le es útil para sus propósitos. En general establece reglas para combinar, factorizar, transformar y resolver ecuaciones, muy similarmente a los métodos actuales, aunque con ciertas limitantes notacionales, solo consideró soluciones positivas, a las soluciones negativas les llamaba “falsas”.

La metodología pedagógica de esta obra, tuvo un alcance decisivo en el posterior desarrollo del cálculo diferencial e integral, otros grandes matemáticos como Pierre de Fermat, Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz etc., se beneficiaron de esta magnífica obra, para sus posteriores investigaciones.

Descartes, fundamentalmente era un filósofo racionalista, llegó a escribir otras obras importantes, en 1641 escribió Meditaciones de Filosofía, en 1644, Principios de Filosofía y en 1649, Las pasiones del alma.  Por sus ideas filosóficas, en general privilegiaba la razón por encima de la fe cristiana, fue perseguido, siempre vivió atemorizado, al enterarse de que  Galileo casi muere en la hoguera, por defender sus ideas sobre la tierra.

Para estar alejado de las persecuciones acepta la invitación de Catalina I de Suecia para hacerse cargo de su educación. La reina tenía la costumbre de solicitarle las clases a las cinco a.m., en el frío intenso de Estocolmo, el cual terminó por causarle una neumonía, murió el 11 de febrero de 1650 a los 53 años. Existen algunas evidencias que establecen su muerte por envenenamiento con arsénico, como lo cuenta el holandés Johan Van Wullen en su libro El asesinato de Descartes. En 1676, su cuerpo fue exhumado, encontrándose el cadáver sin su cabeza, el cuerpo fue llevado a París. Posteriormente, el cráneo de Descartes fue encontrado y se conserva en el Museo del Hombre en París. En 1935 se llamó Descartes, en su honor, a un cráter lunar. Su ciudad natal también fue bautizada como Descartes.