Durante un congreso sobre el método de la física teórica dictada en Oxford en 1933, Albert Einstein señaló que los conceptos y las leyes fundamentales de la física no se derivan por abstracciones de la experiencia, tampoco pueden atribuirse a la naturaleza de la razón humana; reveló que son invenciones libres del espíritu humano, o sea, la invención o creación es la esencia del trabajo científico. Estas ideas fueron centrales en la ciencia del Siglo XX, incluida la Matemática. 

El famoso Círculo de Viena fue un grupo de pensadores y filósofos de la primera mitad del Siglo XX, creadores del empirismo lógico, una de las corrientes filosóficas más importantes del Siglo señalaba: “El pensamiento científico inventa conceptos implícitamente definidos mediante axiomas, postulados arbitrariamente, sin otra exigencia que la ausencia de contradicción”. Bajo esta influencia, David Hilbert instauró el paradigma del formalismo en la Matemática, que caracteriza a este pensamiento de nuestro tiempo.

En 1934, en su libro Lógica de la investigación científica, Karl Popper afirmaba que es imposible conformar una teoría científica comparando sus consecuencias lógicas con los resultados de sus observaciones y la experimentación; la comparación únicamente sirve para probar la teoría. La ciencia en general ha seguido la concepción popperiana, evidenciada en toda su historia. 

Sin embargo, en Matemática, nuestras observaciones y experimentaciones se producen como constructos mentales bajo la única materialización de ejemplos, cálculos, deducciones lógicas, esquemas, gráficos, etc., no ponemos a prueba alguna teoría matemática, porque nuestros objetos de estudio no son materiales, sino mentales, sólo requieren ser autoconsistentes; esta característica los hace tener un carácter atemporal.

La invención resulta fundamental para entender la Matemática; los primeros axiomas a veces no vienen de la razón, por ejemplo: algo que no existe como el conjunto vacío, los matemáticos lo materializan mediante un axioma; para fundamentar a la Geometría no euclidiana, debemos asumir que podemos tener un punto exterior a una recta en un plano donde pasan infinitas rectas paralelas, inventando un mundo paralelo al mundo euclidiano. Mediante la invención también podemos entender que un conjunto finito de puntos es posible con la creación de una geometría, simplemente definiendo como recta a un subconjunto de punto del conjunto finito, y así entender la geometría finita.

Dentro del paradigma actual del formalismo, los matemáticos inventan las reglas de juego iniciales para luego seguir inventando conceptos y conexiones; la creatividad es lo esencial en el trabajo matemático, por lo tanto, la Matemática es una ciencia formal eminentemente creativa, más allá de los ingeniosos cálculos o usos de estas herramientas técnicas en la solución de problemas reales que son muy importantes, por cierto. 

El paper matemático es una simplificación depurada de las ideas matemáticas, en aquel documento se encuentra lo formal de las invenciones, la precisión de las ideas y las técnicas; habitualmente no se encuentran los caminos fallidos, las ideas que no funcionaron, los errores técnicos que condujeron por otros caminos, etc. Es fascinante penetrar en la mente de un matemático profesional e indagar en sus ideas, maravillarse de sus dificultades técnicas, cómo las supera y ver su alegría cuando ocurre esto y su constante concentración para vencer dificultades.

En su obra Apología de un matemático, G.H. Hardy explica: “Un matemático, al igual como un pintor o un poeta, es un creador de modelos. Si sus modelos son más permanentes que los de los otros es porque están compuestos por ideas. Un pintor crea modelos a partir de formas y colores, un poeta lo hace con las palabras. Un cuadro puede ser la personificación de una idea, pero dicha idea suele ser corriente y poco importante. Un matemático, en cambio, no tiene otro material con el cual trabajar que las ideas, y por eso sus obras duran más ya que, con el paso del tiempo, las ideas se deterioran menos que las palabras”. 

Las ideas a las que se refiere G.H. Hardy nacen de la creatividad, de la invención, de artefactos conceptuales intrínsecamente puros, ontológicamente neutros, que se conectan ampliando su riqueza conceptual; su importancia en el conocimiento humano es completamente intrínseco.