El Cálculo diferencial ha evolucionado desde Eudoxo de Cnido (390-337 a.C.) con sus primeras ideas sobre lo “infinitamente pequeño”, pasó a Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) quien, con el método de reducción al absurdo, pudo calcular áreas y volúmenes de figuras redondas; no con la precisión que finalmente se consiguió en el Siglo XVII con Newton y Leibniz. Las dificultades técnicas y conceptuales estuvieron relacionadas con lo infinitamente pequeño; para lograr formalizarlo, esperaron hasta el Siglo XIX y fue parte de una tercera revolución matemática. Para Newton, el Cálculo diferencial consistía en conceptualizar la “fluxión” y, para Leibniz, la “diferencial”, o sea, la velocidad física para Newton y la pendiente de una recta tangente para Leibniz; sin embargo, ambos usaban elementos intuitivos y poco formales; fue así hasta bien avanzado el Siglo XIX. Hasta esa época, tales ideas fueron consideradas como herramientas para modelar fenómenos de la naturaleza; hoy, algunos lo consideran así.

Toda invención humana resulta ser una herramienta, puesto que el individuo la crea para “hacer algo”, es decir, es una característica de la invención; pero no expresa nada de su esencia: ¿qué es? Pasa lo mismo con el Cálculo diferencial cuando se ve como una herramienta, pero no explica nada de su esencia, lo que realmente es. Para descubrir qué es el cálculo, qué es la geometría, qué es el análisis matemático, qué es el álgebra abstracta, etc., es necesario adentrarse en las ideas histórico-filosóficas de fines del Siglo XIX, pero fundamentalmente en la matemática del Siglo XX.

Con respecto al Cálculo diferencial, si bien es cierto que como herramienta constituye una de las tecnologías matemáticas más potentes en distintos ámbitos, detrás de toda su formalización se encuentra una idea fundamental en el pensamiento matemático contemporáneo: es decir, llegar “desde lo local a lo global”. Caracterizar formalmente (coherente con el actual formalismo matemático) lo infinitamente pequeño (que no está al alcance cognitivo humano), ver lo local para dar cuenta de la globalidad del hecho matemático. Por eso podemos hacer pequeños cálculos locales (por ejemplo, calcular las derivadas, puntos críticos, etc.) para luego confirmar la globalidad de la curva.

La idea central es pasar de lo local a lo global, pero ¿cómo lo hacemos? Pues mediante otra idea: la “linealización local de la curva”. En otras palabras, la tecnología matemática llamada “derivada” establece una forma de linealizar una curva, es decir, deformar localmente la curva y convertirla en una pequeña recta. En las funciones de diversas variables, esta tecnología actúa de la misma manera: se deforma localmente una superficie (alrededor de un punto) para convertirla en un pequeño plano. Lo fantástico es que esa idea puede generalizarse a infinitas dimensiones: pasar de lo no lineal a lo lineal localmente. Hoy estas ideas podrían parecer muy obvias, pero necesitaron muchos siglos de maduración para encontrar la técnica formal adecuada.

El Cálculo diferencial es parte de una de las ideas esenciales de la matemática; en muchos problemas matemáticos se trata de caracterizar lo global del fenómeno con base en lo local. Un tránsito formal fascinante porque puede objetivizarse en distintos ámbitos. Para comprender ¿qué es la matemática? o cualquiera de sus temas de estudio, debemos penetrar en su esencia, en la mente de los matemáticos profesionales, en su hacer, reflexionar y capturar tal esencia para comprender sus conexiones y proyecciones. Lo hermoso de la matemática se encuentra en sus ideas globalizantes y no en sus cálculos (que hoy puede hacerlos una máquina que no piensa).

El Cálculo diferencial es la parte del Análisis Matemático que estudia las formas de caracterizar objetos globales ‒como curvas en el plano, en el espacio, superficies e hipersuperficies‒ con técnicas locales de linealización. Los dominios de estos objetos matemáticos pueden ir más allá de los números reales y ser realizados en dominios más abstractos. La idea central es la misma: cambia el ámbito donde se desarrolla y, de acuerdo con ese ámbito, se elaboran conceptos isovalentes; por ejemplo, la noción de “derivada en espacios” de Banach.