Un tema que ha inquietado al hombre desde hace mucho tiempo es el del cálculo de áreas de terrenos accidentados para el cultivo. En las orillas del río Nilo, por ejemplo, los agricultores exigieron a su faraón un pago justo por el terreno que les quedaba después de cada inundación ocasionada por el crecimiento del río Nilo que llegaba a durar hasta 100 días, según el gran historiador Herodoto. En un principio, calcular el impuesto que tenía que pagar un agricultor no representaba mucha dificultad, pues a cada uno se le entregaba un terreno cuadrangular o rectangular. Pero después de la inundación, una buena parte de dicho terreno desaparecía, perdía su forma inicial, hasta convertirse en un terreno con forma de una amiba. El problema era ahora cómo encontrar el área aproximada de este terreno para calcular su respectivo impuesto. Aquí fue donde los matemáticos egipcios comenzaron a usar el razonamiento para crear nuevas herramientas matemáticas. Gracias a esta exigencia, el terreno en forma de amiba pudo dividirse en rectángulos y triángulos cada vez más pequeños, lo que facilitó el cálculo de áreas y, por lo tanto, el impuesto justo correspondiente a dicha área.

Sin embargo, llegar a aquel nivel de conocimiento no fue tarea fácil para el hombre, pues había recónditos donde era casi imposible encajar una pieza rectangular o triangular. El hombre tuvo la necesidad de abstraer esta realidad, crear particiones cada vez más finas y recurrir al concepto de lo infinitamente pequeño para poder encontrar áreas infinitesimales. Así fue como surgió el método de exhausión de Eudoxo de Cnido y el método por reducción al absurdo de Arquímedes de Siracusa. Con ellos, el hombre logró calcular áreas de curvas más complejas como el del círculo y el de la parábola. Estos conocimientos fueron reforzados después con las aportaciones de los matemáticos italianos Torriceli y Cavalieri, quienes introdujeron el concepto de lo infinitamente pequeño. Pero llegarían Fermat, Descartes, Leibniz y Newton para revolucionar el cálculo infinitesimal desarrollado por los griegos. Los dos últimos crearon una máquina diferencial e integral que ayudó a encontrar sin mucho esfuerzo el área bajo cualquier curva. Así nació lo que conocemos como el Teorema Fundamental del Cálculo. Sin embargo, a esta máquina le faltaba una explicación detallada de su funcionamiento. Aunque había una relación íntima entre el cálculo diferencial e integral, ambas herramientas inversas una con respecto a la otra, faltaba hacer visible el mecanismo de la segunda. Aquí es donde destacó la aportación del matemático alemán Bernhard Riemann, quien describió la integral definida como una aproximación del área bajo la curva, al dividir dicha curva en rectángulo o trapecios. Esta aproximación es conocida hoy como la suma de Riemann y consiste en encontrar el área bajo una curva por medio de rectángulos donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en cualquier punto intermedio de la base.

Para ejemplificar, trácese una parábola f(x)=x² con el intervalo dominio [0, 1] (el resultado es el mismo para el caso [0, 1]). Procedamos a calcular el área bajo esta curva cuadrática. Dividimos el intervalo [0, 1] en 4 partes: []. Posteriormente, escogemos el punto medio de cada base de cada rectángulo, la cual mide . Así, el punto medio de la base del primer rectángulo sería ; para el segundo, ; para el tercero, ; y para el cuarto, . Calculamos ahora el área: para el primer rectángulo tenemos ; para el segundo, ; para el tercero, ; y finalmente, para el cuarto, . Al sumar estas áreas obtenemos aproximadamente 0.328; un valor cercano a un tercio, el cual puede calcularse aplicando directamente la integral definida a la función cuadrática. Si el intervalo [0, 1] no lo dividimos en 4 partes, sino ahora en 8 partes o en n partes, es claro que el valor exacto al que llegaríamos sería un tercio. Pero no todas las figuras son suaves y hermosas, hay figuras en las que el método directo de integración y el Teorema Fundamental del Cálculo fallan. De ahí que la suma de Riemann cobra importancia y vigencia, pues funciona para cualquier curva y es entendible y comprensible para todo aquel que sepa aceptablemente la aritmética y el álgebra.