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Dos herramientas matemáticas de demostración fueron constantes en las obras de Arquímedes: el método exhaustivo, establecido por Eudoxo de Cnido, y el método por reducción al absurdo, formalizado por él mismo. Ambos métodos fueron usados por él; en primer lugar, para calcular áreas del círculo de radio uno, del segmento parabólico y de la espiral que lleva su nombre y, en segundo lugar, para encontrar volúmenes de segmentos de “conoide rectángulo” (paraboloide de revolución), de “conoide obtusángulo” (hiperboloide de revolución) y de esferoide (elipsoide de revolución).
Thomas Little Heath, en su libro The works of Archimedes (págs. 99-188), recoge los trabajos Sobre los conoides y esferoides y Sobre las espirales del sabio de Siracusa. De estas dos obras, me interesa particularmente destacar el trabajo Sobre las espirales, porque, en esta aportación matemática, se vislumbra ya la síntesis del cálculo integral y diferencial. Arquímedes comienza construyendo su espiral partiendo de un punto que se mueve sobre una recta a una velocidad uniforme, recta que gira sobre un punto fijo (origen) con una velocidad angular uniforme.
Para continuar con su investigación, el genio de Siracusa demuestra que el área de dicha espiral, en su primera vuelta, cubre la tercera parte del círculo que la envuelve. La solución a esta afirmación trajo consigo la respuesta a uno de los tres problemas clásicos de la Grecia antigua, el problema de la trisección del ángulo que, con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, habían resistido los embates de los más eminentes matemáticos griegos.
La espiral de Arquímedes, que “evoca el infinito” y “triseca” ángulos, concentra el cálculo infinitesimal muy desarrollado para su tiempo. Un ejemplo de esta concentración se encuentra en la siguiente proposición: “el área acotada por la primera vuelta de la espiral y la línea inicial es igual a la tercera parte del primer círculo (que la envuelve)” (Proposición 24, pág. 178).
Hoy la ecuación de dicha espiral se puede expresar en coordenadas polares de la forma r (θ)=aθ, donde r es la distancia al origen, a es una constante y θ es el ángulo girado. Se requiere encontrar el área de la espiral cuando el ángulo polar varía de 0 a 2π en relación con el área del círculo circunscrito de radio 2πa. Es inmediato calcular el área de este círculo por medio de la fórmula πr2 = π (2π a)2 y de la espiral, por medio de la integral en coordenadas polares, tomando como integrando la función polar r2/2 en el intervalo [0, 2π]. Usando algunas operaciones básicas de la integral, obtenemos en seguida que π (2π a)2/3, corresponde al área de la espiral, la cual es la tercera parte del primer círculo que la circunscribe. Esta maquinaria matemática, sin embargo, no existía en aquellos tiempos, por eso Arquímedes procede de la siguiente manera: divide el círculo de radio 2π a en sectores de amplitud θ=2π /n; con n en los números naturales. Luego, en cada sector circular, examina el arco de la espiral que queda dentro del mismo sector y acota el área correspondiente a dicho arco de la espiral entre las áreas de dos sectores circulares. Posteriormente calcula el área del sector circular más grande inscrito en cada arco de la espiral y el área del sector circular más pequeño circunscrito a cada arco de la espiral, y por medio del método exhaustivo va cubriendo progresivamente la espiral con cada sector circular inscrito y circunscrito tantas veces como se quiera. Después, suma el área de todos lo sectores circulares más grandes inscritos en cada arco de la espiral y el área de todos los sectores circulares más pequeños circunscritos a cada arco. Finalmente, Arquímedes aplica dos veces el método por reducción al absurdo para comprobar la veracidad de la Proposición 24 de su libro Sobre las espirales.
Con esta aportación, Arquímedes se había adelantado a los matemáticos de mediados y último tercio del Siglo XVII como Cavalieri, Pascal, Newton y Bernoulli, quienes usaron formalmente las coordenadas polares para resolver problemas relativos a áreas, longitud de arcos parabólicos y tangentes respectivamente.
Se ha demostrado que los microplásticos causan daños graves a las células humanas, daños que van desde reacciones alérgicas hasta provocar la muerte celular. No solo perjudican el medio ambiente, sino también al hombre.
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Por ello, ahora como antes, es de vital importancia que los científicos dejen de ser una élite que atesora el conocimiento, y que devuelvan éste al pueblo. La ciencia se nutre en el pueblo.
Pocas son las mujeres que han obtenido frutos tan importantes en las matemáticas a la par de muchos hombres. Es el caso de Ada Lovelace, a ella se reconoce como la pionera de la programación de la máquina analítica.
El inicio de la rigurosidad en el pensamiento matemático es obra del gran maestro Weierstrass, quien, entre otras atribuciones, estableció la existencia de una curva continua sin tangentes, sorprendiendo a los analistas de su época.
El sistema CRISPR/Cas9 es considerado como el método más simple, versátil y preciso de manipulación genética.
Leonard Euler aún de avanzada edad y ciego, continuó su producción a un ritmo acelerado; en 1770 publica otra de sus obras más sobresalientes Introducción al álgebra, pedagógicamente impecable.
Niños inquietos e inteligentes como el que me preguntó hay muchos en nuestro país; pero muy pocos son rescatados y apoyados para continuar con sus estudios
Para muchos es normal que en la época de fin de año las temperaturas sean bajas. Esto se debe, en gran medida, a la inclinación de 23.5 grados del planeta con respecto a su eje, que va del polo norte al sur.
El ser humano ha entendido las diferentes formas de vida a través de la observación, distinguiendo las similitudes y diferencias de los organismos.
Los problemas personales no afectaron su brillante carrera académica; su jornada incluía largas horas de concentración.
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Como resultado de la fiscalización que hizo la ASF al Sistema Nacional de Investigadores del CONACYT; se detectaron inconsistencias por casi 20 millones de pesos.
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Escrito por Romeo Pérez
Doctor en Física y Matemáticas por la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Lomonosov, de Moscú, Rusia.