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La Ley de los Grandes Números y su implicación
La Teoría de la Probabilidad surgió por una necesidad práctica de la sociedad francesa; y el desarrollo que ha alcanzado actualmente ha servido al hombre actual para resolver problemas cotidianos como los arriba descritos.
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La Ley de los Grandes Números indica que si repetimos muchas veces un mismo evento (lanzar una moneda, por ejemplo), la frecuencia con la que salga águila o sol se convierte en una constante. En este ejemplo, la constante resulta ser un medio, de donde se deduce que la probabilidad de que salga águila o sol es ½.

Jacob Bernoulli (1655–1705), profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea desde 1687; miembro distinguido de las academias de Ciencias de París (1699) y Berlín (1702), y uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad y del análisis matemático, probó un caso especial de la Ley de los Grandes Números conocido hoy como la Distribución de Bernoulli. Con él nació formalmente la historia de la probabilidad. Aunque sus inicios se remontan a los problemas planteados por la alta sociedad francesa del siglo XVII, concernientes a los juegos al azar y que fueron resueltos por Blaise Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat (1601–1665). Estos matemáticos franceses resolvieron el siguiente problema: repartir proporcionalmente el dinero total a cada uno de los jugadores según los puntos que llevara cada uno en el momento que el juego termina.  

La formulación y demostración de la Ley de los Grandes Números está descrita en el Ars Conjectandi (El arte de los supuestos) publicada (en latín en 1713); la primera reimpresión (completa) apareció en alemán en 1899. Posteriormente, la Academia de Ciencias de San Petersburgo la tradujo al ruso en 1913, exactamente 200 años después de su publicación original. De acuerdo con el matemático soviético Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (1903–1987), al preparar los suplementos de esta versión rusa se consideró la edición alemana de 1899 y, en particular, el tercer volumen de las obras recopiladas por Jacob Bernoulli, publicado en Basilea (en 1975) por el holandés Bartel Leendert Van der Waerden (1903–1996), muy conocido en el mundo matemático por su ameno libro de texto intitulado Álgebra moderna.

Alrededor de esta ley giraron discusiones trascendentes que contribuyeron a su generalización. Entre los que se inmiscuyeron, estuvieron el matemático francés Siméon Denis Poisson (1781–1840), quien demostró la ley Bernoulli de los grandes números de una forma más general; el otro matemático fue el  ruso Pafnuti Lvóvich Chebyshev (1821–1894), quien obtuvo la formulación general de la ley de los grandes números: si las expectativas matemáticas de una serie de variables aleatorias y los cuadrados de estas expectativas matemáticas están limitados en un conjunto, entonces la media aritmética de estas cantidades converge en probabilidad a la media aritmética de sus expectativas matemáticas. Otro gran matemático ruso, quien demostró una variante de la Ley de los Grandes Números, fue Andréi Andréyevich Márkov (1856–1922). La investigación realizada por Chebyshev y Márkov fue continuada por sus discípulos Aleksandr Yakovlevich Khinchin (1894–1959) y Andréi Nikoláyevich Kolmogórov. Éstos  demostraron que si las variables aleatorias no solo son independientes, sino que se distribuyen equitativamente, la existencia de una expectativa matemática en ellas es una condición necesaria y suficiente para la aplicabilidad de la Ley de los Grandes Números.

En resumen, las aportaciones de Poisson y de los matemáticos rusos–soviéticos Chebyshev,  Márkov, Khinchin y Kolmogórov, fueron cruciales para el desarrollo de la probabilidad. Entre esas aportaciones se encuentran la distribución de Poisson, la desigualdad de Chebyshev, desigualdad y cadenas o modelos de Markov, la Ley del Logaritmo Iterado, Teoremas Límite y proceso estacionario de Khinchin, y los Axiomas de Probabilidad de Kolmogórov. Todos estos resultados han encontrado utilidad hoy día en la investigación biomédica, en el análisis de riesgo, medición del bienestar, estudio de problemas de aglomeración (problemas de tráfico), control de calidad de productos manufacturados, en las predicciones que hacen los meteorólogos, etc.

En conclusión: la Teoría de la Probabilidad surgió por una necesidad práctica de la sociedad francesa; y el desarrollo que ha alcanzado actualmente ha servido al hombre actual para resolver problemas cotidianos como los arriba descritos.


Escrito por Romeo Pérez Ortiz

Doctor en Fisica y Matematicas por la Universidad Estatal de Lomonosov de Moscu, Rusia


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