Actualmente, la teoría de la medida es una parte de la matemática contemporánea con implicancias en el análisis moderno, las ecuaciones diferenciales parciales, la geometría, etc. Su nivel de desarrollo es muy importante para entender la matemática de nuestro tiempo, pero también para comprender los avances sofisticados que el conocimiento matemático ha permitido en la tecnología.

De manera simple podemos definir a la teoría de la medida como el estudio abstracto del concepto de medir en distintos escenarios matemáticos. Aunque esta idea pueda parecer sofisticada, algo confusa para los no matemáticos, sin embargo, su génesis se remonta al año 300 a.C., cuando se creó el primer sistema axiomático de la historia y con él tuvo lugar la primera revolución matemática. La obra Elementos, cuya autoría se atribuye a un maestro de la Biblioteca de Alejandría llamado Euclides, está compuesta por 13 volúmenes, resume la primera estructuración del conocimiento matemático de la humanidad y fue la génesis de muchos de los conceptos que hoy estudiamos, entre ellos el concepto de “medida”.

Todo conocimiento humano tiene una base o trasfondo filosófico, y la obra Elementos no es la excepción. Las ideas de Aristóteles fueron fundamentales para este primer sistema formal de la matemática, que resultó decisivamente influyente hasta fines del Siglo XIX, incluso hoy vemos su influencia en la educación matemática.

Aristóteles concebía a la matemática como el estudio de la cantidad, entendida como aquello que es divisible en partes. De esta manera, existían dos tipos de cantidades: Los números, que son divisibles en partes no continuas; y las magnitudes, que pueden dividirse en partes continuas. El concepto de mediciónde magnitudes resultó fundamental para su estudio; según Aristóteles, segmentos se miden con segmentos, superficies con superficies, ángulos con ángulos, etc. A cada segmento, cada superficie o cada ángulo le corresponde un número, he ahí la génesis de la actual teoría de la medida.

En los Elementos, Euclides trata las magnitudes en los tomo V y VI y los números en los libros VII, VIII y IX. Sólo en el libro X se intenta establecer conexión entre números y magnitudes, al tratar los números inconmensurables.

Esta génesis de la teoría de la medida de Euclides establece algunas ideas básicas: congruencia, semejanza, igualdad, menor y mayor. Siguiendo las ideas de Aristóteles, cosas iguales son aquellas que tienen la misma cantidad. La congruencia es isovalente al principio de identidad (p=p). La semejanza está relacionada con la forma geométrica (idéntica forma, puede tener diferente tamaño).

En los dos primeros libros Euclides aborda la medida de figuras planas rectilíneas, en general trata el problema: Dada una figura plana de lados rectilíneos, encontrar un cuadrado equivalente (de la misma área). Estableciendo la idea de “función de medida” para ello, había que establecer isovalencias entre magnitudes lineales y números, esto fue un problema insuperable para los griegos, por ejemplo, que nunca fueron capaces de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos que media la unidad. Además, no supieron definir la operatoria en las magnitudes, por no existir el producto entre segmentos, áreas o volúmenes, es decir, las magnitudes no tenían la propiedad de clausura, que sí tienen los números. René Descartes fue el primero en definir el producto entre segmentos de línea.

Para los griegos, los números eran objetos discretos desde el 2 hacia adelante; y las magnitudes eran objetos continuos. Establecer los números de manera continua (incluyendo a los irracionales) para así poder hacer isovalente un objeto continuo como la recta geométrica, ha sido un proceso que terminó a fines del Siglo XIX, cuando Richard Dedekind rescató la idea de Eudoxio, para formalizarlo en un objeto matemático que llamó “cortaduras”, demostrando la existencia de los números irracionales; así se pudo hacer del universo numérico un objeto continuo y, por lo tanto, susceptible de identificarlo con la recta geométrica.

Este logro matemático ha sido fundamental en gran parte de la matemática moderna para sentar las bases de la teoría de la medida dentro de un universo más amplio: el análisis y la geometría.