La Teoría de Conjuntos fue una pieza clave para el desarrollo de nuevas ramas de la matemática, por ejemplo, la Teoría de la Medida (una generalización del cálculo iniciada por Émile Borel (1971 - 1956) y Lebesgue (1875 - 1941). El alto desarrollo alcanzado hoy en día por la matemática, se debe fundamentalmente al desarrollo conjuntista, que permite precisar, sistematizar, crear objetos matemáticos y sus conexiones con relativa facilidad.

Sin embargo, las ideas revolucionarias de George Cantor no fueron comprendidas por los matemáticos de su época, solo su maestro, Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekind (1831-1916) seguían con cierto interés los trabajos de Cantor, las duras críticas a su trabajo afectaron la salud mental.

Los últimos años del Siglo XIX se empieza a concebir la inducción transfinita, también aparecen los primeros conjuntos paradójicos, dentro de la teoría de cardinales y ordinales, también inventados por George Cantor. En 1897, el matemático italiano Cesare Burali (1861-1931), estableció que no existe el conjunto de todos los ordinales.

En 1899, en una carta dirigida a Richard Dedeking, George Cantor habría afirmado que el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto, ya que, si Ω fuera este conjunto, entonces el P [Ω] el conjunto de todos los subconjuntos de Ω sería un elemento de ω, es decir: P [Ω] Î Ω y también P [Ω] Î Ω.

Entonces, para conjuntos finitos, existe un n tal que 2n ≤ n, lo cual es una contradicción.

Más tarde, el lógico alemán Gottlob Frege (1848-1925), construyó un sistema que intentaba fundamentar la matemática, reduciéndola a la lógica formal; este sistema se sostenía básicamente en dos principios:

Principio de Extensionalidad: dos propiedades son equivalentes si son aplicables a los mismos elementos.

Principio de Abstracción: toda propiedad define un conjunto.

El primer principio dio origen al Axioma de Extensión (que veremos más adelante) y el segundo principio no es otra cosa que el Principio de Comprensión, muy utilizados por todos los matemáticos. Estas ideas de Gottlob Frege fueron publicadas en dos volúmenes; en 1902, cuando estaba por salir el segundo volumen, recibió una carta del matemático y filósofo Bertrand Russell (1872 -1970), que le señalaba: Si x es, por ejemplo, el conjunto de los conjuntos que no son cucharas, x x, pero si x es el conjunto de todas las cucharas, evidentemente x no es una cuchara y, por lo tanto, x/x. Lo que quería decir Bertrand Russell es que si aplicamos el Principio de Abstracción a la propiedad x / x obtenemos una contradicción, esto trajo abajo no solo el trabajo de Gottlob Frege, sino literalmente el fin de su carrera académica.

La solución a esta crisis lo da la formalización y el método axiomático, que hasta el día de hoy utilizamos para el estudio de la Matemática. El ideólogo más importante de este sistema es el alemán David Hilbert (1862-1943), uno de los grandes matemáticos del Siglo XX y considerado el último Universalista de la Matemática. Para él, la solución radica en dar a la Teoría de Conjuntos la base axiomática necesaria.