Los conceptos matemáticos como números naturales, enteros, primos, racionales, irracionales, imaginarios, línea recta, el cero, el infinito, etc., han sido considerados “entes abstractos” e independientes de la realidad material. La primera consideración de este tipo comenzó con Pitágoras y Platón, quienes veían en los números, respectivamente, “la clave de la realidad” y “la aristocracia intelectual del conocimiento”. Para Platón, los números y las figuras geométricas eran entidades ideales y eternas e independientes del ser humano. Esta filosofía influyó en los eminentes matemáticos de siglos posteriores, que consideraron a las estructuras abstractas de la matemática como un mundo eterno e independiente de nosotros. Uno de ellos fue Godfrey Hardy, quien argumentaba que la realidad matemática se encontraba fuera de nosotros y definía a la geometría como un “conjunto de ideas” que debía ser juzgada “por su interés y belleza” (Apología de un matemático, págs. 34 y 35). El otro matemático fue Carl Gustav Jacobi, quien opinaba que la matemática era “para honor del espíritu humano” (Matemáticas, ciencias y tecnología: una relación profunda y duradera, Juan Luis Vázquez, doctor en matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid).

Pero quien planteó con más crudeza el principio de la pureza de la matemática fue Immanuel Kant: “Las proposiciones verdaderamente matemáticas son siempre juicios a priori” y que la matemática pura “no contiene conocimiento empírico alguno, sino solo conocimiento puro a priori” (Crítica de la razón pura, págs. 34 y 35). Más adelante concluye que “el conocimiento matemático es un conocimiento obtenido por construcción de los conceptos” (pág. 418). Estas ideas impactaron significativamente en las mentes de grandes matemáticos, entre los que se encuentran Bolzano, Brouwer, Dedekind, Frege, Gauss, Gödel, Helmholtz, Hilbert, Poincaré, Riemann, Russell y Cantor. Este último, por ejemplo, reducía los conceptos matemáticos al “libre y arbitrio juego del entendimiento”; David Hilbert planteó que los conceptos matemáticos podían obtenerse a partir de construcciones formales apriorísticas. Su obra Fundamentos de la Geometría es el resultado de esa concepción; Russell, Whitehead, Frege, Peano y Wittgenstein plantearon que era posible construir toda la estructura matemática sobre las formas lógicas abstractas. Producto de esta idea es la obra Principia Mathematica, de Russell y Whitehead.

Por el lado materialista, se encuentra el fundador de las geometrías no euclidianas, Nikolái Lobachevski, quien opinaba que “en la naturaleza, lo único que de verdad conocemos es el movimiento, sin el cual las compresiones sensoriales son imposibles”. Y concluía en que todos los demás conceptos, los geométricos entre ellos, “los produce nuestra mente de un modo artificial, puesto que los toma de las propiedades del movimiento”. (El materialismo dialéctico y el concepto, de Gueorgui Kursanov, págs. 126 y 127).

En efecto, los conceptos geométricos surgen de los movimientos generados por los diferentes objetos existentes en la naturaleza como, por ejemplo, la trayectoría que forma un ave al volar o un jabalí cuando es perseguido por un depredador; o bien de las formas de los pétalos de las flores, las estrellas, la espiral de las conchas, galaxias, etc., que generan nuevos conceptos geométricos. Una vez que el movimiento y la forma quedan reflejados en la mente del hombre, sobre ellos comienzan a actuar la abstracción y la razón para alcanzar el siguiente nivel de abstracción, la cantidad, que consiste en la eliminación de las formas espaciales y dimensionales de un cuerpo. Así lo argumentaron los reconocidos matemáticos soviéticos Andréi Kolmogórov, Pável Aleksandrov y Mijail Lavrentiev en su obra La matemática: su contenido, métodos y significado: “el concepto de la figura geométrica es el resultado de la abstracción de todas las propiedades de un objeto, exceptuadas su forma espacial y dimensiones”, y concluyen que abstracciones de esta clase abundan en toda la matemática. Por ejemplo, “los números complejos, funciones, integrales, diferenciales, funcionales, espacios n-dimensionales e incluso espacios de infinitas dimensiones, etc.”, que al alcanzar ese grado de generalización “pierden aparentemente toda conexión con la vida diaria”.

Esta aparente desconexión con la realidad material ha llevado a varios matemáticos y filósofos a considerar que los conceptos matemáticos son entidades abstractas que viven en un mundo aislado, perfecto y eterno, fuera de nosotros y de la naturaleza material.