En el Siglo XIX se inició un cambio cualitativo en el pensamiento matemático, se agotaron las antiguas técnicas algebraicas para dar paso a nuevas formas de pensamiento más estructuradas. La geometría euclidiana, que hasta entonces se había mantenido intacta desde 300 a.C., fue extendida a nuevos mundos geométricos por varios matemáticos, uno de los primeros fue Nicolai Ivanovich Lobachevsky, nacido el 22 de octubre de 1793 en Makarievski (Rusia), en una familia de tres hermanos, quienes quedaron huérfanos de padre cuando Nicolai Lobachevsky tenía siete años, quedando la familia en una extrema pobreza.

Nicolai Lobachevsky ingresó en 1807 a la recién creada Universidad de Kazán, en donde pasó la mayor parte de su vida, dedicado a la academia y a labores administrativas. Inició su carrera académica a los 21 años enseñando matemática, astronomía y física, ocupando diversos cargos administrativos; de 1820 a 1825 ocupó el cargo de Decano de la Facultad de Matemática y Física; de 1825 a 1835 el de Jefe de la biblioteca de la Universidad, cargo que cumplió paralelamente al de Rector de Universidad, de 1827 a 1846. Bajo la rectoría de Nicolai Lobachevsky se reorganizó la Universidad, incorporándose profesores competentes y potenciando la biblioteca con libros y revistas para la enseñanza y la investigación. Su dedicación a la vida académica era total y el desarrollo académico fue una de sus grandes pasiones, junto a la geometría, centrándose en demostrar el V Postulado de Euclides: dado un punto p que no está en la recta L, existe una única recta L' tal que p pertenece a L' y L es paralela a L'. Nicolai Lobachevsky propuso una demostración por el absurdo, suponiendo que L' no es único (deberían haber por lo menos dos rectas paralelas a L') y por lo tanto, debería llegar a una contradicción. Sin embargo, esta contradicción nunca llegó, resultando la incursión de nuevos mundos geométricos, nunca antes vista en la matemática. A esta nueva geometría, Nicolai Lobachevsky la llamó Geometría Imaginaria y hoy la conocemos como Geometría Hiperbólica o Geometría de Lobachevsky. Sus ideas no fueron comprendidas en los círculos académicos europeos y sus publicaciones fueron prácticamente locales y en algunos casos aparecieron póstumamente.

En 1827, Nicolai Lobachevsky publicó Sobre los principios de la Geometría, que apareció en Kazán Messeguer. Se sabe que este mismo artículo fue rechazado por el afamado matemático ruso Ostrogradski. En 1835 publicó Geometría Imaginaria. En 1840 publicó, en Berlín, su artículo Nuevos elementos de geometría con una teoría completa sobre las paralelas. En 1842, por recomendación de Carl Gauss, Nicolai Lobachevsky fue nombrado miembro extranjero correspondiente de la Real Sociedad de Gotinga, uno de los pocos reconocimientos que tuvo en vida. Sin embargo, su obra cumbre fue Pangeometría, publicada en 1855, en donde estableció toda su teoría geométrica no euclidiana y algunas aplicaciones al cálculo de integrales. Estaba ciego cuando escribió esta obra, que vio la luz gracias a la participación de un ayudante.

En 1822, Nicolai Lobachevsky se casó con Lady Varvara Alexivna Moisieva, joven dama con quien tuvo siete hijos; se dice que no tuvo un matrimonio feliz, por lo que se sumergía en el trabajo académico, toda su vida era la universidad y la matemática. En 1846, cuando Nicolai Lobachevsky fue removido no solo como rector, sino también como profesor, su estado de salud se quebrantó rápidamente, quedando ciego, para luego sufrir de esclerosis. En sus últimos años de vida, la familia quedó en la pobreza debido a malas inversiones inmobiliarias y a una pobre pensión de jubilación.

Nicolai Lobachevsky murió el 24 de febrero de 1856, a los 62 años, en Kazán, sin saber que años después su obra sería reconocida en el mundo como una de las grandes aportaciones científicas de la historia. Gracias a la Geometría de Lobachevsky se pudo establecer el llamado Programa Erlangen de Félix Klein, de clasificación de las geometrías mediante propiedades invariantes bajo la acción de algún grupo de transformación. Además, la formulación matemática de la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein se basa fuertemente en esta geometría.