Karl Weierstrass: el padre del análisis moderno

El inicio de la rigurosidad en el pensamiento matemático es obra del gran maestro Weierstrass, quien, entre otras atribuciones, estableció la existencia de una curva continua sin tangentes, sorprendiendo a los analistas de su época.

Dr. Esptiben Rojas Bernilla

2021-10-03
Ciudad de México

Hasta inicios del Siglo XIX, la matemática no tenía la rigurosidad que hoy ostenta, en particular el cálculo matemático se desarrollaba intuitivamente, algunas de sus técnicas eran poco rigurosas, fundamentalmente porque el concepto central de función no estaba del todo esclarecido y la concepción de los números reales era muy débil, razones históricas y filosóficas contribuyeron para que esta oscuridad se develara recién a principios del Siglo XX. El inicio de la rigurosidad en el pensamiento matemático es obra de un gran maestro llamado Karl Weierstrass, quien nació el 31 de octubre de 1815 en Munster, Alemania, en el seno de una familia católica liberal; su padre visualizaba a su hijo dedicado a las leyes y los negocios, actividad en la que Karl no tenía el mínimo interés. Sin embargo, bajo la presión del padre, entró a estudiar leyes en la Universidad de Bonn, en donde se sabe que estudió poco, regresando a los cuatro años sin obtener un título.

Ante esta situación decidió postular a la Academia de maestros en Munster, en donde conoció al profesor de matemática, Christof Gudermann (1798-1852), quien se convirtió en su mentor y Karl siempre le estuvo agradecido. El trabajo matemático del profesor Gudermann, se centraba en el desarrollo de series de potencias de las funciones elípticas; en ese tiempo, conceptos cómo la convergencia de funciones, eran intuitivos. Siguiendo estas ideas, Karl se tropezó con algunos vacíos y trabajó duro para superarlos. Se graduó como maestro en 1841, a los 23 años, presentando como memoria de habilitación los avances que había obtenido en el tema de series de potencia y causando la admiración de su maestro Gudermann; sin embargo, esto no fue suficiente para que la comunidad académica le diera un puesto universitario. Así que Karl pasó 15 años de su vida como profesor de escuela, en donde enseñaba alemán, geografía y escritura para niños; por las noches, después de un arduo trabajo en la escuela, seguía con sus investigaciones.

De ser un modesto profesor de escuela, Karl Weierstrass sorprendió a la comunidad matemática europea al publicar su trabajo: Sobre funciones abelianas, en el Journal de Crelle (Vol. 47–1854). Por este trabajo recibió el doctorado Honoris Causa por la Universidad de Konigsberg. Sus grandes contribuciones le permitieron recibir ofertas de trabajo de varias universidades europeas; sin embargo, Karl deseaba trabajar en la Universidad de Berlín, en donde fue nombrado profesor en 1856; también fue electo miembro de la Academia de Berlín. Ese mismo año publicó su Teoría de funciones abelianas, en el Journal de Crelle, en donde establece la inversión de las integrales hiperelípticas.

Con el trabajo matemático de Karl Weierstrass se inicia lo que se denomina la Aritmetización del análisis, que busca fundamentar el análisis en última instancia en los números enteros, para ello establece rigurosamente conceptos como límites y convergencia de series, definiendo a los números irracionales como límite de una sucesión de números racionales, contribuyendo a brindar una base sólida al análisis. En 1861, esta mente analítica estableció la existencia de una curva continua que no tiene tangentes en ningún punto, sorprendiendo a los analistas de su época, acostumbrados al trabajo intuitivo. Otra de sus contribuciones relevantes fue establecer por primera vez, y de manera rigurosa, los conceptos de convergencia uniforme y no uniforme y su famoso teorema de aproximación, en donde demuestra que toda curva continua es aproximable por polinomios.

Karl Weierstrass no solo fue un gran analista, sino también un gran maestro; muchos de sus discípulos recordarían sus clases con gran admiración por la claridad didáctica al presentar sus temas de investigación, que era su característica, además de socializar con colegas y discípulos.

Como los grandes maestros, Karl Weierstrass publicó poco, pero cada contribución sentaba firmes bases para el análisis matemático. Siempre tuvo un espíritu crítico y continuamente revisaba y ampliaba sus trabajos. Su estado de salud empezó a decaer desde 1850 sin que lograra recuperarse; en sus últimas clases, un alumno le escribía en la pizarra mientras él permanecía en una silla de ruedas, prácticamente paralizado. Murió de neumonía, a los 82 años, el 19 de febrero de 1897, en Berlín.