Los métodos de Bar Hiyya y Kepler

Sirvan estos dos ejemplos para que los estudiantes mexicanos despierten su interés por el desarrollo histórico de las fórmulas matemáticas.

Romeo Pérez Ortiz

2021-01-17
Ciudad de México

En la Edad Media, las aportaciones matemáticas al desarrollo del cálculo infinitesimal fueron escasas en comparación con las contribuciones de Eudoxo y Arquímedes. En la primera mitad del Siglo X, el geómetra Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit, continuó con las investigaciones realizadas por Arquímedes acerca de áreas de parábolas y volumen de los conoides, pero su método es desconocido por nosotros. En la misma dirección siguió Kamal al-Din (Siglo XIII), quien usó la teoría de las cónicas, desarrolladas por el matemático griego Apolonio de Perga, para resolver problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib al-Marwazi (Siglo IX) y Nasir ad-Din at Tusi (Siglo XIII), por su parte, desarrollaron la teoría de las trigonometrías plana y esférica, aportación significativa que sirvió a los matemáticos y físicos del Renacimiento.

Sin embargo, el método que me interesa destacar, en primer lugar, es el usado por el matemático Abraham Bar Hiyya (principios del Siglo XII), quien para encontrar el área de un círculo de radio R lo dividió en n circunferencias concéntricas con sus respectivos radios, que iban disminuyendo progresivamente hasta hacerse cero. Luego, desde el centro del círculo, levantó una recta perpendicular al diámetro dirigida hacia el Norte. Esta perpendicular la tomó como cateto-altura del triángulo rectángulo, y el otro cateto-base como la circunferencia concéntrica circunscrita extendida en un segmento rectilíneo. Al final, en el cuadrante positivo, quedan colocados todos los triángulos rectángulos con altura, los radios de cada circunferencia circunscrita y base igual a la medida de cada una de ellas. No es difícil notar que todos los triángulos rectángulos quedan inscritos en el triángulo con catetos R y 2πR. El área de éste, en efecto, corresponde al área del círculo de radio R.

La misma técnica es usada para calcular el volumen de una esfera. Primero, se toma la mitad de una esfera. Del centro se levanta una recta perpendicular al diámetro, que es dirigida hacia el polo Norte; a una cierta altura h, se hace un corte circular, que extendido sobre un plano, se convierte en una sección transversal de una pirámide de base triangular, y así sucesivamente para cada corte circular. Al final, frente al lector se erige una pirámide triangular con un número n de secciones transversales. Fijándose detenidamente en la base piramidal, uno se dará cuenta que el cateto más pequeño es igual a R, mientras que el cateto más grande tiene medida 2πR. Calculando el volumen de la pirámide, el cual es: área de la base por la altura h, todo dividido por 3, y sumándole el volumen de la otra pirámide obtenida con la otra mitad de la esfera, se obtiene (4/3)πR3, fórmula que corresponde al volumen de una esfera de radio R.

En segundo lugar, se encuentra el método usado por el matemático Johannes Kepler: éste usó una técnica parecida al matemático Bar Hiyya, pero retomó el método usado por Eudoxo y Arquímedes. Para encontrar el área de un círculo de radio R, en lugar de usar circunferencias concéntricas, Kepler partió el círculo en n rebanadas y las intercaló sobre un plano para formar un rectángulo de ancho r y largo πr. Los lados largos del rectángulo corresponden a las partes curvas de la circunferencia. Calculando el área de este rectángulo se encuentra el área del círculo de radio R.

En el caso de la esfera de radio R, Kepler dividió la superficie esférica en partes infinitesimales (cuadriláteros pequeños), y tomó cada uno de éstos como base de cada una de las pirámides infinitesimales con cúspide de cada una de ellas en el centro de la esfera. Es claro que la altura de cada una de esas pirámides infinitesimales es igual a R. Como el volumen de una pirámide es un tercio del producto de la superficie de la base por su altura, al sumar el volumen de todas las pirámides infinitesimales, Kepler encontró el volumen requerido de la esfera.

Sirvan estos dos ejemplos para que los estudiantes mexicanos despierten su interés por el desarrollo histórico de las fórmulas matemáticas, ya que hoy son usadas como dogmas, sin que el estudiante cuestione su veracidad y origen.