Origen y desarrollo del cálculo infinitesimal (3/10)

Euclides concentró todo el conocimiento matemático creado por los filósofos y matemáticos anteriores a él, entre ellos Eudoxo y Aristóteles.

Romeo Pérez Ortiz

2020-11-29
Ciudad de México

Federico Engels, en su obra Anti-Dühring, en el apartado “Dialéctica: negación de la negación”, cuestiona fuertemente a Dühring cuando éste coloca a la lógica formal al mismo nivel de la dialéctica. En algo se parecen, escribe Engels, porque ambas son un “método para el hallazgo de nuevos resultados, para progresar de lo conocido a lo desconocido”, pero la dialéctica “rompe el estrecho horizonte de la lógica formal y contiene el germen de una concepción del mundo más amplia” (pág. 125, párrafo 2). Es en este contexto como el revolucionario alemán proporciona un ejemplo de las magnitudes constantes y variables. De acuerdo con él, la primera se mueve en el marco de la lógica formal, mientras que la segunda, que comprende el cálculo infinitesimal, se mueve en el campo de la dialéctica. Y concluye advirtiéndonos que cuando se trata de resultados en el plano dialéctico, no se puede recurrir simple y llanamente a la lógica formal para su análisis.

En efecto, el cálculo infinitesimal debe analizarse desde la perspectiva de la dialéctica; pues en el mundo de lo infinitamente pequeño, los movimientos y cambios generan contradicciones imposibles de resolver con la ayuda de la lógica formal. Por ejemplo, al diferenciar dos magnitudes x y y, donde la variable y depende de la variable x, se obtienen magnitudes infinitamente pequeñas que tienden a “desaparecer”, quedándonos solamente con la relación matemática dy/dx, “una relación cuantitativa sin cantidad”, diría Engels. Esta razón, que adopta la forma 0/0, dado que las nuevas magnitudes dy y dx son tan pequeñas como se quiera, no puede resolverse con la lógica formal; pero para la dialéctica es perfectamente válida, pues se ha obtenido una negación que puede ser superada con el uso de una función integral.

Desde la perspectiva de la dialéctica, considerada como “el arte de descubrir las contradicciones en el pensamiento y de contraponer las opiniones para alcanzar la verdad” (Dynnik, et. al., 1968, pág. 70), Aristóteles en su obra Sobre las líneas indivisibles y mecánica. (págs. 33-53), cimentó el cálculo infinitesimal sobre tres resultados: el primero, la no existencia de líneas indivisibles; el segundo, que aunque la línea no está compuesta de puntos, ellos sí forman parte de la recta como extremos de la misma, definición que Euclides proporcionó después en su tratado Elementos; y el tercero, que el punto no es lo más pequeño que hay en la recta.

Aristóteles demostró la primera afirmación usando la siguiente explicación trasladada a la matemática de hoy: sea ABCD el cuadrado cuyos lados son indivisibles. Tómese AE igual a 2AB, donde E es la prolongación de la base AB. Constrúyase un rectángulo AEFG, tal que el producto de AE y EF sea (AB)^2, con G punto medio del lado BC y GB paralelo a FE. Por construcción, se deduce que FE es la mitad de AB. Conclusión: el lado AB, que era indivisible, fue dividido en dos partes iguales. Aplicando sucesivamente el resultado obtenido, Aristóteles concluyó que la línea tampoco se puede componer de un conjunto de puntos (indivisibles); pues “el punto quedará necesariamente cortado cuando se corte en partes iguales la recta compuesta de un número impar de partes o en partes desiguales la compuesta de un número par de partes” (pág. 45). Y concluyó probando que “lo que no tiene partes no tiene dimensiones, de manera que no existiría una magnitud continua compuesta de cosas sin partes. Luego tampoco la línea se compone de puntos” (pág. 47). Para el tercer resultado, usó el siguiente razonamiento: “pues si se dice ‘lo más pequeño de lo que hay (en la recta)’, lo más pequeño, en lo que es lo más pequeño, ha de ser también más pequeño que algo, y en la línea no hay ninguna cosa más que puntos (considerados aquí como los extremos de una recta) y líneas, y la línea no es mayor que el punto, de manera que lo más pequeño que hay en la línea no será el punto” (pág. 51).

A partir de estas aportaciones, Euclides concentró todo el conocimiento matemático creado por los filósofos y matemáticos anteriores a él, entre ellos Eudoxo y Aristóteles. De este último, recogió el razonamiento deductivo que formalizó en su obra Elementos.