Cálculo, áreas y epidemias

Por muy abstracto que se vuelva el razonamiento matemático procede de la realidad material y tarde o temprano vuelve a ella.

Daniel Lara Jáuregui

2020-11-22
Ciudad de México

Aunque no lo notemos, las matemáticas, juegan un papel importantísimo en esta pandemia de Covid-19. Curiosamente, el Cálculo (parte de las matemáticas que estudia los cambios y la continuidad), fue desarrollado durante una epidemia. ¿Qué métodos han empleado los matemáticos para calcular áreas? ¿Qué relación guardan el área y el cálculo integral? ¿Qué aplicaciones tiene el cálculo en las ciencias y en esta pandemia?

De acuerdo con la conferencia sobre los Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral, impartida por el Dr. Romeo Pérez Ortiz, en el Siglo IV antes de nuestra era, Eudoxo de Cnido (390 a. C. – 337 a. C) desarrolló un método para calcular el área de un círculo de radio igual a 1. Inscribió un polígono en el interior del círculo y se dio cuenta de que, conforme aumentaba el número de lados, el área del polígono se aproximaba a la del círculo. Arquímedes de Siracusa (287 a. C. – 212 a. C) también trabajó en ello, pero además calculó aproximadamente el área debajo de una parábola invertida subdividiéndola en triángulos. En el Siglo XIX, el matemático Bernhard Riemann (1826 – 1866) desarrolló un método para calcular el área exacta debajo de dicha parábola usando el concepto de límite.

¿Cómo fue la evolución de la matemática para llegar a este punto?

Euclides (325 a. C. – 265 a. C) sistematizó la geometría de la época en sus Elementos cerca del año 300 a. de C. Los árabes desarrollaron el álgebra durante el oscurantismo medieval. En 1637 se publicó La Géométrie, de René Descartes, donde aparece por primera vez la fusión de la geometría con el álgebra en una sola disciplina: la geometría analítica.

En 1665, una epidemia de peste afectó a Inglaterra. Isaac Newton (1643 – 1727), que había estudiado los Elementos, La Géométrie y otros textos sobre matemática moderna, tuvo que mudarse de Cambridge a Woolsthorpe. Durante ese confinamiento, desarrolló la versión newtoniana del cálculo infinitesimal. Elaboró un método para calcular tangentes con base en infinitesimales (derivadas), y para calcular áreas o cuadraturas. Luego dedujo que ambos cálculos son procesos inversos (Teorema Fundamental del Cálculo). Esto aparece en un manuscrito sobre fluxiones que escribió en 1666 y en su obra  conocida como De Analysi (1669).

Tomando como base el cálculo (y con él el concepto de límite) es posible calcular el área exacta de la parábola antes mencionada. La idea es subdividir la parábola en pequeños rectángulos y, para que el área de los rectángulos se adecue perfectamente a la de la parábola, el número de éstos debe ser muy muy grande (debe tender a infinito). El área bajo la curva es pues el límite de la suma de las áreas cuando el número de rectángulos tiende a infinito. Ésta es la motivación geométrica de la integral definida.

¿Entonces la integral sirve solamente para calcular áreas? No. El área puede representar otras cosas además de superficie. Esa parábola podría corresponder, por ejemplo, al comportamiento de la velocidad de un automóvil en el tiempo. El área debajo de esa curva nos dirá cuál es el desplazamiento del automóvil entre un tiempo inicial y un tiempo final. Podemos cambiar las variables en cuestión (velocidad y tiempo) y entonces el área que calculemos representará una cantidad distinta.

En matemáticas, la integral se utiliza para hallar el área entre gráficas, longitud de curvas y áreas y volúmenes de sólidos de revolución. En física se emplea para calcular centros de masa, trabajos, potenciales, velocidades, posiciones, entre otras. Las aplicaciones de la integral están presentes en todas las ciencias naturales y sociales.

¿Y de qué manera se aplica en la pandemia? Los modelos de propagación de epidemias más utilizados (como el SIR) vienen dados por ecuaciones diferenciales, que son ecuaciones en las que la incógnita es una función que está “afectada” por una derivada. En muchos de los casos, para resolver ecuaciones diferenciales necesitamos de la integral.

Por muy abstracto que se vuelva el razonamiento matemático procede de la realidad material y tarde o temprano vuelve a ella.