Ecuaciones íntegro-diferenciales en la mecánica hereditaria y física térmica

El término “física térmica” causa curiosidad debido a que, en la división clásica de la física, no existe una rama como tal.

Romeo Pérez Ortiz

2020-03-16
Ciudad de México

La editorial Esténtor publicó recientemente mi libro Análisis espectral de las ecuaciones íntegro-diferenciales que surgen en los problemas de la mecánica hereditaria y física térmica. Este libro es mi tesis doctoral traducida del ruso al español, que fue redactada durante mi estancia en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal Lomonósov de Moscú, Rusia. En el primero de los seis años que estuve en la tierra del gran revolucionario Lenin, cursé el ruso y los cinco restantes estudié la maestría y el doctorado en física y matemáticas, con el apoyo de Antorcha Campesina, a quien con mucho cariño dediqué la obra, que se divide en tres grandes capítulos. En el primero se expone la estructura general del espectro (soluciones de las ecuaciones); las asíntotas obtenidas de las partes reales y complejas del espectro de las funciones-operadores consideradas y la dependencia de la localización del espectro. En el segundo se determina la existencia y unicidad de las soluciones de dichas ecuaciones íntegro-diferenciales de segundo grado en el espacio de Sóbolev, con la ayuda de las condiciones iniciales de Cauchy. En el tercero y último capítulo, las soluciones son expresadas en forma de suma de series convergentes en el espacio de Hilbert. Dicha convergencia ayudó a determinar el decaimiento exponencial o polinomial de las soluciones de las ecuaciones íntegro-diferenciales consideradas, lo que propicia la generación de una cantidad considerable de aplicaciones en diferentes campos de la ciencia.

En efecto, las ecuaciones integro-diferenciales de segundo grado, es decir, las ecuaciones diferenciales parciales de segundo grado, con un término integral conocido como integral de Volterra, surgen en varias ramas de la mecánica y la física, tales como la teoría de la conducción del calor en los medios de memoria y teoría de la viscoelasticidad. Las ecuaciones de este tipo también surgen en la teoría cinética de los gases, en la teoría del impulso acústico, en la dinámica de los cuerpos sólidos viscoelásticos y en los problemas de controlabilidad de sistemas termoelásticos con memorias.

Para explicar el resultado obtenido en el libro, explicaré el título en primer lugar. Por análisis espectral me refiero al análisis del comportamiento asintótico de las soluciones infinitas de un polinomio característico, obtenido a partir de la ecuación íntegro-diferencial considerada. Estas soluciones, que pueden ser reales o complejas, reciben el nombre de espectro. Son llamadas así porque encuentran aplicaciones en diferentes fenómenos como la espectroscopia de rayos X, la resonancia magnética o el estudio fotográfico de los espectros estelares, etcétera.

El término “física térmica” causa curiosidad debido a que, en la división clásica de la física, no existe una rama como tal. En efecto, física térmica se refiere a la combinación de la termodinámica, la mecánica estadística y la teoría cinética de los gases; combinación en la que coinciden varios ingenieros de materiales y físicos reconocidos. Pero lo que más ha despertado interés es la palabra hereditaria y, sobre todo, el concepto mecánica hereditaria; pues en la ciencia de la mecánica y la física tampoco hay una rama que se llame así. El término se refiere, más bien, “a la aparición de fenómenos biológicos con intervención de la herencia, entendida no en el sentido biológico clásico, sino en el estudio de fenómenos en los que la evolución de un sistema no depende solamente de su estado actual, sino de toda su evolución pasada” (léase La correspondencia entre Vladímir A. Kostitzin y Vito Volterra (1933 – 1962) y los inicios de la biomatemática, pág. 168, segundo párrafo, de Giorgio Israel y Ana Millan Gasca). 

El libro es producto de un esfuerzo colectivo y resultado de una investigación de cinco años, que encontrará utilidad, sin duda, en la sociedad actual, si llega a manos de los jóvenes y maestros que estudian ingeniería de materiales y otras ramas relacionadas con la física.